¿Puedo ordenar en Weyl el siguiente hamiltoniano?

Estoy tratando de realizar una integral de ruta, pero tengo problemas con el orden de Weyl de mi hamiltoniano.

El Lagrangiano del sistema en cuestión es

L   =   1 2 F ( q ) q ˙ 2 ,

dónde F ( q ) es cualquier función de la coordenada q . De este lagrangiano obtengo el hamiltoniano que es

H   =   pag 2 2 F ( q ) ,

dónde pag = F ( q ) q ˙ es el momento canónico.

Ahora, quiero realizar una integral de trayectoria con este hamiltoniano. Es por eso que quiero que después de la cuantización este hamiltoniano sea ordenado por Weyl.

Mi pregunta es: ¿Puedo ordenar Weyl este hamiltoniano sin conocer la forma explícita de F ( q ) ?

Como no tienes un origen explícito de F , es su pregunta si puede afirmar que un símbolo ordenado por Weyl de H existe sin realizar explícitamente la orden de Weyl?
Debería echar un vistazo a la cuantización de Weyl desde un punto de vista matemático. Diría que si la función F ( q ) es lo suficientemente regular, no deberías tener problemas.
@ACuriousMind no quiero probar que existe. Quiero saber si puedo escribirlo de alguna manera sin saber la forma exacta de F ( q )
... No veo lo que quieres decir con "escribirlo" si no lo sabes F .
@ACuriousMind Solo esperaba que pudiera haber una manera, incluso sin conocer la forma explícita de F ( q ) , aunque supongo que no es posible.
Dado un símbolo a ( X , ξ ) , la cuantización de Weyl es el operador que actúa como a W ( X , D X ) ψ ( X ) = ∫ ∫ mi 2 i π ( X − y ) ⋅ ξ a ( X + y 2 , ξ ) ψ ( y ) d y d ξ . Llevar a ( X , ξ ) = ξ 2 2 F ( q ) y calcule la integral. Si tiene sentido como objeto de L 2 para ψ en un subespacio denso (por ejemplo, de disminución rápida, suave con soporte compacto...), obtienes tu cuantización de Weyl.

Respuestas (1)

  1. La respuesta es sí. Definir función gramo ( q ) := 1 F ( q ) para mayor comodidad posterior. Entonces el hamiltoniano clásico dice

    2 h   =   gramo ( q ) pag 2 .
    Se puede demostrar que el hamiltoniano ordenado por Weyl lee
    2 H W   =   ( gramo ( q ) pag 2 ) W   =   1 4 PAG 2 gramo ( q ) + 1 2 PAG gramo ( q ) PAG + 1 4 gramo ( q ) PAG 2
      =   PAG gramo ( q ) PAG − 1 4 ℏ 2 gramo ′ ′ ( q ) ,
    véase, por ejemplo, Ref. 1 y esta publicación de Phys.SE. Aquí q y PAG denote los operadores correspondientes para las variables clásicas q y pag , respectivamente.
    [ q , PAG ]   =   i ℏ 1 , { q , pag } PAG B   =   1.

  2. Existe otro método de cuantificación. Si uno elige la representación de Schrödinger para que el operador de cantidad de movimiento sea

    q   =   q , PAG   =   ℏ i F ( q ) 4 ∂ ∂ q F ( q ) 4 ,
    se convertirá en wrt autoadjunto. la medida
    m   =   F ( q ) d q .
    El hamiltoniano en la representación de Schrödinger es (hasta una constante multiplicativa) el operador de Laplace-Beltrami
    2 H   =   − ℏ 2 2 Δ   =   − ℏ 2 F ( q ) ∂ ∂ q 1 F ( q ) ∂ ∂ q ,
    que es autoadjunto. Por lo tanto, el hamiltoniano cuántico se convierte en
    2 H   =   1 F ( q ) 4 PAG 1 F ( q )   PAG 1 F ( q ) 4 ,
    véase, por ejemplo, Ref. 1 y mi respuesta Phys.SE aquí .

Referencias:

  1. J. de Boer, B. Peeters, K. Skenderis y P. van Nieuwenhuizen, arXiv:hep-th/9511141 ; Sección 2.
Los dos hamiltonianos cuánticos concuerdan hasta el primer orden de bucle en ℏ , pero difieren en el segundo orden de bucle.
La fórmula de ordenamiento de Weyl para potencias arbitrarias de p y q, y por lo tanto una función arbitraria g(q) se dio 63 años antes de la referencia de de Boer et al, en McCoy, Neal H. "On the function in quantum mechanics which corresponde to a función dada en la mecánica clásica". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América (1932), 674-676.
¡Gracias! Aquí hay un enlace.
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