Flujo de líquido entre ramas

Exudando miel a través de tuberías

La siguiente solución es para un fluido muy viscoso que tiene una inercia despreciable y una gran viscosidad. Es incorrecto para el agua en tuberías reales, porque ignora la caída de presión que se produce con el cambio de velocidad del agua. Este término es de orden superior en v, pero obviamente es relevante para los gaiteros reales. Lo dejo, porque es un ejercicio interesante con una analogía directa con el flujo de corriente resistiva, la solución correcta está al final.

La forma de hacer esto es notar que la presión en el punto de divergencia es igual para las 4 tuberías y que existe una ley dada para la caída de presión a lo largo de una tubería por unidad de longitud a cualquier caudal dado. La respuesta es diferente dependiendo de si tiene una presión fija que fuerza el agua a través de las tuberías (como lo hace en un sistema principal de agua) o si está forzando un volumen dado de agua por unidad de tiempo, como sugiere, y cuál es apropiado cuando tiene una gran caída de presión a lo largo de una tubería muy larga antes de llegar a su divisor.

Asumiré que las 4 tuberías tienen una longitud determinada y que se vacían a la presión atmosférica, que etiquetaré como 0, y que el flujo de agua es suficiente para mantener las tuberías llenas hasta cerca del punto de salida, de lo contrario el problema requiere más información. Considere primero el problema de caudal fijo. Si el caudal impuesto es F unidades de agua por segundo, la primera ecuación es la ecuación de conservación de masa

$$\sum_i f_i = F$$

Dónde$f_i$son los caudales a lo largo de las tuberías. Phill.Zitt dio esta fórmula, pero no es suficiente --- es análoga a la Ley de Kirchhoff actual. También necesita el análogo de la ley de Kirchhoff de voltaje.

La ley de voltaje te dice que la tasa de flujo$f_i$es proporcional a la caída de presión a lo largo de la tubería i. Llamaré a la constante de proporcionalidad "conductancia de flujo".$C_i$(es el análogo del recíproco de la resistencia en un circuito eléctrico):

$$f_i = C_i \Delta P$$

Para los cuatro tubos,$\Delta P$es igual, por lo que

$$f_i \propto C_i$$

y junto con la regla de la suma, encuentras:

$$f_i = {C_i f \over \sum_i C_i }$$

Así que lo único que necesita saber es el$C_i$, al igual que en una red de resistencias.

Dos tubos con conductancias de flujo$C_1,C_2$conectados en serie tienen una conductancia de flujo C dada por la fórmula:

$${1\over C} = {1\over C_1} + {1\over C_2}$$

Para los mismos dos tubos en paralelo,

$$C = C_1 + C_2$$

De modo que las conductancias se suman en serie y en paralelo al igual que el recíproco de la resistencia (la conductancia eléctrica) en los circuitos. Tiene un problema de 4 resistencias en paralelo conectadas en serie a una resistencia de entrada, al igual que una resistencia conectada a 4 resistencias en paralelo.

Para una tubería cilíndrica de longitud L y radio R, el perfil de flujo laminar es exactamente parabólico en la coordenada cilíndrica radial r:

$$v(r) = V(1 - {r^2\over R^2})$$

de modo que el flujo total en función de R es

$$f(R) = \int_0^R v(r) 2\pi r dr = {\pi V R^2\over 2}$$

Las ecuaciones de Navier Stokes se reducen a algo muy simple en el caso del flujo laminar de tubería --- todos los términos desaparecen excepto el término de viscosidad, que indica la difusión del impulso fuera de la tubería y, por lo tanto, la caída de presión por unidad de longitud. (ver aquí: ¿Existe una solución analítica para el flujo de fluidos en un conducto cuadrado? )

la ecuacion es

$$\nu \nabla^2 v = \delta P$$

de modo que

$$2\nu {V\over R^2} = {\Delta P \over L}$$

Esto le da el caudal en función de R y L,

$$f = {\pi V R^2 \over 4} = {\pi R^4\over 8\nu L} \Delta P$$

por lo que la conductancia es

$$C(R,L) = {\pi R^4 \over 8 \nu L}$$

Y esto determina el flujo a través de la i-ésima tubería en términos del flujo total y la geometría:

$$f_i = {f {R_i^4\over L_i} \over \sum_k {R_k^4\over L_k}}$$

Esto resuelve el problema del caudal constante de forma puramente geométrica.

El límite de caudal constante se logra cuando hay una tubería larga que alimenta todo el conjunto con una caída de presión mucho mayor que la caída de presión después de la división. El flujo total está determinado por la conductancia total, que es esencialmente igual a la conductancia de la tubería larga, por lo que no importa lo que conecte al final, siempre que la parte del extremo tenga mucha más conductancia que la tubería inicial.

El mismo problema se puede resolver a una presión fija en el punto de divergencia, el flujo de salida es solo la conductancia por la presión compartida. Para la pregunta 2, la cuestión de la presión constante o el caudal constante es esencial. A presión constante, si conecta el artilugio al costado de una tubería principal de agua ancha a alta presión, cerrar una tubería no afecta el flujo en las otras tuberías. A una velocidad de flujo constante, cerrar la tubería número 4 aumenta el flujo a través de las otras 3 por el factor

$$C_1 + C_2 + C_3 + C_4 \over C_1 + C_2 + C_3$$

Para tuberías no rígidas, solo necesita conocer la R en función de la presión. Esta será una buena aproximación si las caídas de presión son lentas en la tubería como de costumbre, de modo que el radio cambie lentamente con la longitud. En las tuberías normales, el radio apenas cambia con la presión, así que no me molesté en calcular nada, pero puedes dividir la tubería en rebanadas con un radio R(P), dando una conductancia, que suma de acuerdo con la regla de la serie.

Agua en tuberías

Asumiré que el flujo es laminar en las tuberías, pero que las tuberías son cortas, de modo que la caída de presión debida a la viscosidad es insignificante entre los dos extremos. Este es el límite correcto para las tuberías de agua. La presión realiza un trabajo sobre el agua que no se disipa significativamente en las tuberías y sale como energía cinética en el agua, no como calor en la tubería.

Dada una caída de presión de P a la presión atmosférica 0, el agua en cada una de las cuatro tuberías ajustará su velocidad para que se obedezca el principio de Bernoulli --- el trabajo realizado por la presión es la energía ganada por el agua. El flujo de energía en una sección transversal de la tubería es:

$$\int {\rho v(r)^2\over 2}v(r) 2\pi r dr$$

con el perfil laminar (el flujo f es como antes), y esto da

$$f {\rho V^2\over 4}$$

Donde V es la velocidad en el centro, como antes. El trabajo realizado por la diferencia de presión en los dos extremos es$Pf$, por lo que obtiene una versión de la ecuación de Bernoulli para tuberías laminares:

$$P + {\rho V^2\over 4} = {\rho V_0^2\over 2}$$

Las velocidades en las tuberías son entonces

$$V= \sqrt{{4P\over \rho} + {V_0^2\over 2}}$$

y son iguales. De modo que el caudal en este límite (el límite correcto para el agua) es proporcional al área de la sección transversal de la tubería, a R^2. Si tiene un caudal fijo, la presión aumenta hasta el punto en que el flujo de salida total es igual al flujo de entrada, y el flujo de agua se divide según el área de la sección transversal:

$$f_i = {f R_i^2\over \sum_k R_k^2 }$$

Esto desprecia la velocidad entrante.$V_0$, asumiendo que el agua que sale es significativamente más rápida que el agua que entra. La respuesta para 2 y 3 no cambia en el caso del agua en comparación con la miel.

1)

A ₁ contra ₁ = A ₂ contra ₂

Donde A = área de la tubería, v = velocidad del flujo.

2)

Suponiendo que todas las tuberías son del mismo tamaño, todas tendrán el mismo flujo siguiendo la fórmula anterior: divida el lado derecho por el número de tuberías del mismo tamaño.

Si las tuberías no son del mismo tamaño, tendrá que usar algo como

UN ₁ v ₁ = ( UN ₂ v ₂ + UN ₃ v ₃ + ... + UN _x v _x )

Donde A _2...x es el área de las tuberías 2 a X, y v _2...x es la velocidad de las tuberías 2 a X.

3)

No lo sé. AFAIK, no, las tuberías rígidas y no rígidas no tendrán ningún efecto. ¡Tener cuidado! No lo sé. ¡GIYF!