¿Cuál es la suma de los ángulos a+b+c?

Para referencia:

tres-círculos-inscritos-en-un-triángulo-rectángulo

(figura sin escala)

Mi progreso:

Los centros de los círculos son colineales. Pienso que la recta que une los centros pasa por el punto de tangencia con el lado del triángulo. Por lo tanto, los triángulos formados serán rectángulos y ∡ a y ∡ b será 90 ∘ . Queda por demostrar que ∡ C = 45 ∘ .

Actualizar:

imagen-después-de-la-solución

No es necesario que ∠ a y ∠ b son 90 ∘ . Además mientras los centros de los círculos sean colineales, no es necesario que pase por el punto de tangencia al triángulo. Sugerencia: desde los centros de los círculos, dibuje puntos de tangencia. La solución debe volverse clara. Publica tu progreso.
¿Se da el hecho de que los centros de los círculos son colineales ? ¡Porque no se puede deducir de la cifra!
@JeanMarie Me preguntaba eso mismo, y tienes razón, no puede. Terminé construyendo este contraejemplo donde los centros claramente no son colineales: desmos.com/geometry/rnynesyquo

Respuestas (3)

Sí, estás en lo correcto, ∡ b es 90 ∘ , pero no ∡ a .

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Pista: Considera el pentágono (suma de los ángulos interiores = 540 ∘ ). ¿Puedes tomarlo desde aquí?

No entendí... qué pentágono... puede demostrar...
@petaarantes de la imagen de MathLover, el pentágono es q S O a O C T .
..ya veo... Pero, ¿cuál es el valor de los ángulos 2a y 2c?
@petaarantes, la pregunta es el valor de a + b + C . No necesitas encontrar los ángulos a y c por separado. Supongo que puedes ver que los otros ángulos del pentágono son ángulos rectos.
@ACB... Agradecido por la sugerencia, como ya mencioné, mi cerebro se detuvo en esta pregunta... Me concentré en encontrar los ángulos separados... pero su resultado no funcionará... ¿Por qué 2c? 2(a+b+c) + 270 = 540 por lo tanto a+b+c = 135 peroa+b+c = 225
No tomes 2b como un ángulo interior. (Ver mi comentario arriba)
@ACB... Creo que finalmente entendí... 2(a+c) +270 = 540 por lo tanto a+c = 135 y 2c porque c es un ángulo inscrito y el ángulo del pentágono sería el ángulo central entonces 2c...Como b = 90, 135+90 = 225... ¿Eso es todo?
acb ..geogebra...es gratis..

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Tenga en cuenta que PAG S = PAG A y O a A = O a S . PAG O a es perp bisectriz de A S .

Entonces, ∠ S A O a = ∠ PAG 2

Ahora cual es el valor de ∠ T C O C   ?

Como, ∠ METRO O a A + ∠ METRO O b B = 180 ∘ , ∠ METRO A O a + ∠ METRO B O b = 90 ∘

ahora que es ∠ norte B O b + ∠ norte C O C   ?

Sumándolos todos, ¿qué obtienes?

Lo siento por mi dificultad pero no puedo visualizarlo... "Tenía un bloqueo mental" en este ejercicio
@petaarantes tienes una pregunta? por favor, avísame.
Pero la respuesta que debes seguir es la anterior. Eso es mucho más simple y rápido. Agregué esta respuesta más tarde que muestra cómo puede agregar ángulos alternativamente para llegar a la respuesta.
Perdóname, pero tendré en cuenta la respuesta de la ACB que consiguió identificar dónde me "bloqueaban"...gracias por tu paciencia...
No se trata de buscar el perdón :) por supuesto, también debes aceptar la otra respuesta como dije antes. Esa es una respuesta mucho más elegante :) independientemente de si desea comprender esta solución, puedo ayudarlo.
..Me gustaría si no importara..mencionaste: "Sumándolos todos, ¿qué obtienes?" pero hay tantos ángulos que mencionaste que estaba confundido... actualicé el dibujo para hacerlo más fácil...
estoy dividiendo ángulos a , b , C cada uno en dos partes con las líneas conectadas al centro del círculo, no son necesariamente iguales. En primer lugar, ¿está claro por qué ∠ S A O a = ∠ PAG / 2 ? y por qué ∠ METRO A O a + ∠ METRO B O b = 90 ∘ ?

Además del comentario de Jean Marie y el mío, esto se puede resolver sin asumir que los centros son colineales . Comience según la respuesta de ACB , pero considere el hexágono (no el pentágono) delimitado por los catetos del triángulo y los radios de los círculos:

Un hexágono delimitado por los catetos de un triángulo rectángulo y por radios de tres círculos tangentes a uno o más de sus bordes

Los radios son perpendiculares a las tangentes, por lo que tres de los seis ángulos son de 90°. Los ángulos en los centros de los círculos son el doble de los ángulos en sus circunferencias. Dado que estos últimos son a , b y C , los primeros son 2 a , 2 b , y 2 C . Por último, la suma de los ángulos de un hexágono es 720°. Por eso, 2 a + 2 b + 2 C + 270 ° = 720 ° , y por lo tanto a + b + C = 225 ° .

Por cierto, me divertí mucho jugando con la herramienta Desmos Geometry , que, lamento decir, ¡descubrí que existía recientemente! Hice una construcción del problema para explorarlo empíricamente antes de dar con la solución; una variación de eso se usó para la imagen de arriba. </enchufe>

Pensé que se da el hecho de que 'los centros son colineales'. Si no, esta debería ser la respuesta aceptada. (+1)
@ACB Yo también, pero después de que Jean Marie preguntó al respecto en un comentario, me pregunté si importaba. ¡Y resulta que no!
¿Cuál es la suma de los ángulos a+b+c?
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