¿Cuál es la medida ∠C∠C\ángulo C del siguiente problema triangular?

ángulo
geometría
triangulos
Matemáticas
Geometría euclidiana

peta arantes

Para referencia: En un triángulo ABC a $m \measuredangle A = 2m \measuredangle C$ . Trace la mediana de BM tal que $\measuredangle AMB=45º$ . Calcula el $m \measuredangle C$ .

Mi progreso: $Trace DM \perp AC\\ EXtend~AB~ to~D\\ \text{mark point E (circuncentro) on the straight DM in the } \triangle ADC\\\overset{\LARGE{\frown}}{CD}=2x \therefore \measuredangle AEC = 4x$

queda por demostrar que EAM =2x???

Respuestas (3)

miguel rozenberg

De otra manera.

Dejar $G$ ser un punto medio de $AB$ y $BE$ ser una altitud de $\Delta ABC$ .

Así, desde $AG=GE=GB,$ $BE=EM$ y

$GE=EM$ (porque $GM||BC$ , $\measuredangle GMA=\measuredangle C$ y $\measuredangle GEA=\measuredangle A=2\measuredangle C$ ), obtenemos:

mi B = mi METRO = mi GRAMO = \frac{1}{2} A B,

$EB=EM=EG=\frac{1}{2}AB,$ lo que da

∡ B A C = 30^{\circ}

$\measuredangle BAC=30^{\circ}$ y

∡ C = 15^{\circ} .

$\measuredangle C=15^{\circ}.$

peta arantes

agradecido como siempre por la ayuda

miguel rozenberg

Por la ley de los senos obtenemos:

\frac{pecado 2 X}{pecado (135^{\circ} - 2 X)} = \frac{B METRO}{A METRO} = \frac{B METRO}{C METRO} = \frac{pecado X}{pecado (45^{\circ} - X)},

$\frac{\sin2x}{\sin(135^{\circ}-2x)}=\frac{BM}{AM}=\frac{BM}{CM}=\frac{\sin x}{\sin(45^{\circ}-x)},$ lo que da

2 porque X (porque X - pecado X) = pecado 2 X + porque 2 X

$2\cos x(\cos x-\sin x)=\sin2x+\cos2x$ o

1 + porque 2 X - pecado 2 X = pecado 2 X + porque 2 X

$1+\cos2x-\sin2x=\sin2x+\cos2x$ o

pecado 2 X = \frac{1}{2},

$\sin2x=\frac{1}{2},$ lo que da

X = 15^{\circ} .

$x=15^{\circ}.$

peta arantes

Buena alternativa para resolver en trigonometría... pero la pregunta es específica de un libro de texto de geometría. No utilizan la trigonometría para resolver los ejercicios.

ACB

Otro enfoque trigonométrico:
usando el teorema de cot,

2 cuna 45^{\circ} = cuna X - cuna 2 X

$2\cot 45^\circ=\cot x-\cot 2x$

\begin{matrix} (t=bronceado x) & ⟹ 2 = \frac{1}{t} - \frac{1 - t^{2}}{2 t} \end{matrix}

$\implies 2=\frac 1t-\frac{1-t^2}{2t}\tag{t=tan x}$

⟹ t^{2} - 4 t + 1 = 0

$\implies t^2-4t+1=0$

⟹ t = (2 - \sqrt{3}) o t = (2 + \sqrt{3})

$\implies t=(2-\sqrt 3) \ \text{or} \ t=(2+\sqrt 3)$ aunque

t < 1

$t\lt 1$ , por lo tanto,

broncearse X = (2 - \sqrt{3}) ⟹ X = 15^{\circ}

$\tan x=(2-\sqrt 3)\implies x=15^\circ$ pd si no te acuerdas

\tan 15^{\circ} = (2 - \sqrt{3})

$\tan 15^\circ=(2-\sqrt 3)$ , puedes convertir

\cot

$\cot$ en

\sin

$\sin$ y

\cos

$\cos$ en la primera ecuación. Esto te llevará a

\sin 2 x = \frac{1}{2}

$\sin 2x=\frac 12$ que debes recordar.

peta arantes

Buena alternativa para resolver en trigonometría...agradecido

¿Cuál es la medida ∠C∠C\ángulo C del siguiente problema triangular?

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