¿Qué lógica utiliza la paradoja de Fitch?

Así que he estado investigando la lógica modal y la lógica epistémica (y sus versiones dinámicas) con la esperanza de estudiar sus aplicaciones a la paradoja de Fitch.

La paradoja de Fitches se refiere a la prueba de que del supuesto de que todo lo verdadero es cognoscible, se obtiene que todo lo verdadero ya es conocido, lo que parece absurdo.

Mi pregunta principal es que esto parece especificar un lenguaje muy particular. Así que mi entendimiento ha sido que:

Lógica modal: Necesidad = Caja (para todos los mundos relacionados) Posibilidad = Diamante (existe un mundo relacionado)

Lógica epistémica: necesidad = K_a (para todos los estados relacionados), posibilidad = K^ (existe un estado relacionado)

Sin embargo, la mayoría de las pruebas de la paradoja de Fitch parecen modelar 'cognoscible' como (Diamond K p), que parece combinar ambos lenguajes. Me resulta difícil interpretar lo que significa este lenguaje específico y a qué se refiere realmente Diamond aquí. Por ejemplo, si quisiera modelar formalmente el lenguaje que incluye tanto K como Diamond, ¿cuál sería la semántica?

Muchas gracias

Véase la paradoja de la cognoscibilidad de Fitch : "Sea K el operador epistémico 'alguien lo sabe en algún momento'. Sea ◊ el operador modal 'es posible que'". Y vea allí la "lógica" involucrada, es decir, los axiomas modales necesarios (con respecto a ◊) así como los axiomas epistémicos necesarios (con respecto al operador epistémico K).
Gracias por la respuesta. Leí el artículo de la enciclopedia de Stanford, pero estaba más interesado en la semántica de la posibilidad aquí. Es decir, supongamos que uno quisiera modelar esto en una lógica epistémica dada, ¿cómo funcionaría esto? Por ejemplo, ¿incluiría tanto la necesidad como el Conocimiento, y cómo se diferenciaría entre estados y mundos? Especialmente porque el conocimiento aquí es más amplio de lo habitual, 'conocido por alguien en algún momento' en lugar de solo 'conocido por un agente actualmente' Gracias también por el enlace, le echaré un vistazo.

Respuestas (1)

Ver: Jonathan Kvanvig, The Knowability Paradox (2006 Oxford University Press), página 8:

El teorema demostrado por Fitch en el camino a investigar la lógica de ciertos conceptos de valor y del cual surge la paradoja es:

⊢ ∼α(p & ∼αp) ,

donde 'p' es alguna oración en un lenguaje formal y 'α' es un operador de ese lenguaje que cumple con ciertas restricciones. Es suficiente para cumplir con estas restricciones que a sea al menos tan fuerte como un operador de verdad, y que se distribuya sobre la conjunción. Si dejamos que a sea el operador de verdad en sí mismo, entonces el teorema implica la idea notoriamente obvia de que la siguiente conjunción es demostrablemente falsa: p y no es verdadero que p. Sin embargo, si dejamos que K sea el valor de a en el teorema anterior, donde 'K' se interpreta como 'alguien sabe en algún momento que', tenemos el material para la paradoja.

Véase también Epistemic Logic: Multi-Modalities , con referencia a: Ronald Fagin et alii, Reasoning About Knowledge (1995, The MIT Press).

Y ver también: Walter Carnielli & Claudio Pizzi, Modalities and Multimodalities (2008, Springer).

Gracias. Si leemos un poco más, ¿sería correcto decir que operamos bajo una lógica modal básica y luego agregamos un operador adicional 'a' que tiene ciertas propiedades? Cuando decidimos formalizar la paradoja, podemos sustituir 'a' por el operador de conocimiento K, que suponemos cerrado bajo conjunción. Este último hecho es cierto en general en la lógica epistémica, pero lo tomamos de manera más general en la derivación.
@Kevin - correcto; como puede ver en SEP y en el libro, los "ingredientes" necesarios son algunos principios modales simples (como la regla de necesidad), así como algunos axiomas "naturales" con respecto al operador K (también en este caso, bastante sencillo si leemos K como una modalidad de conocimiento).
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