Estaba revisando las memorias de Rudolf Haag http://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjh%2Fe2010-10032-4 y encontré estas líneas:
'...en la teoría cuántica de campos (o para cualquier sistema de partículas que interactúan) la clase de equivalencia de la representación del grupo de Poincaré es independiente de la interacción. Depende solo de los tipos de partículas estables descritos y se conoce explícitamente. Este resultado a primera vista era bastante contraintuitivo ya que el hamiltoniano –que es uno de los generadores del grupo– contiene un término que caracteriza la interacción. Pero esto se debe a la elección de variables en términos de las cuales se escribe el hamiltoniano. No es una característica puramente teórica de grupo.
Será útil para mí si alguien puede explicar de qué está hablando exactamente o puede dar referencias de dónde se prueba/discute este resultado. Haag se refiere a sus notas de 1954 - 'Lecture Notes Copenhagen CERNT/RH1 53/54'. Pero esto no parece estar disponible en línea.
Para mí, la primera declaración parece decir que las representaciones del grupo de Poincaré están etiquetadas por masa y espín, por lo que si conozco el contenido de partículas de una teoría que interactúa, incluidos los estados ligados, básicamente conozco la representación. ¿Es eso correcto? Es la segunda parte a la que no le encuentro mucho sentido. ¿Por qué hay una aparente contradicción? Los diferentes hamiltonianos de interacción contienen la información sobre qué estados vinculados pueden existir y, por lo tanto, determinan la representación, ¿no? ¿Cuál es el papel de 'la elección de variables en términos de las cuales se escribe el hamiltoniano'?
Me parece que está diciendo que la aparición del término de interacción en el hamiltoniano se debe a nuestra elección de campos con los que expresar el hamiltoniano. Si en su lugar elegimos campos que aniquilan los estados ligados, claramente el sector de 1 partícula de la teoría parece una teoría libre.
Puede parecer que hay un problema al hacer esto con estados que describen muchas partículas que interactúan, pero en términos del grupo de Poincaré, estas solo deben describirse como representaciones reducibles. Entonces podemos describir la teoría de interacción con estados asintóticos de entrada y salida de muchas partículas, que se transforman como una teoría libre bajo el grupo de Poincaré.
La dinámica sigue ahí, pero ahora está oculta en la transformación de los estados de entrada a salida (la matriz S) en lugar del hamiltoniano.
Quítese, por un momento, cualquier prejuicio sobre la respuesta a "¿qué es una partícula?"; QM nos proporciona una respuesta precisa. Sabemos que las leyes de la física deberían ser invariantes bajo el grupo de Poincaré. Dado que este grupo define cómo actúan las transformaciones de Poincaré sobre objetos clásicos (tensores), para saber cómo actúan sobre objetos cuánticos (vectores en el espacio de Hilbert), tenemos que implementarlas como representaciones unitarias, actuando sobre algún espacio de Hilbert. La estructura del álgebra de Lie de este grupo admite dos invariantes de Casimir, cuyos valores indexan las representaciones irreducibles del grupo. Un análisis más detallado del significado físico de los Casimiros arroja que uno de ellos es el operador (cuadrado de) masa en reposo, y el otro es algún tipo de momento angular intrínseco, no relacionado con el movimiento de la partícula; llamémoslo giro (o helicidad,
Teniendo en cuenta que el conjunto de transformaciones de Poincaré deja invariante el espacio vectorial de su representación irreducible, ahora estamos en condiciones de responder qué es una partícula. Tomando como evidente que las transformaciones de Poincaré deben dejar invariante la identidad de una partícula, del argumento anterior deducimos que el conjunto de espacios de Hilbert monopartícula admisibles serán, exactamente, las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré. En cualquier representación de este tipo, la masa en reposo es invariable, como debería ser, así como este giro (o helicidad).
Verá, ahora, cómo al imponer el principio de invariancia de Poincaré (la esencia de la teoría de la relatividad especial) en QM, obtenemos la respuesta de qué es una sola partícula y cuáles son sus propiedades. Entonces, la identidad de la partícula se define como un par de valores posibles del invariante. Por tanto, sí, si conoces el contenido de partículas conoces la representación, por definición.
Ahora bien, como se dijo anteriormente, es la estructura del álgebra de Poincaré la que determina (los Casimiros y por lo tanto) el conjunto de partículas admisibles y sus propiedades. Esta estructura está determinada por la ley de composición de las transformaciones de Poincaré. El operador hamiltoniano está incluido en el álgebra de Poincaré, como generador de traslaciones temporales. Por tanto, su papel en la estructura del álgebra de Poincaré no depende de cómo se implemente el hamiltoniano, definiéndolo explícitamente como una función formal de algunas variables, ya que la estructura está determinada por las propiedades del espacio-tiempo (y particularmente de cómo se componen las transformaciones de Poincaré).