Los estados de una partícula, así como los campos en la teoría cuántica de campos, se consideran representaciones del grupo de Poincaré, por ejemplo, representaciones escalares, espinores y vectoriales.
¿Existe algún procedimiento sistemático que parta de la etiqueta de Dynkin para una representación dada, para construir un Lagrangiano de esa teoría de campos? En caso afirmativo, ¿dónde puedo encontrar ese procedimiento?
No me importa agregar interacción por invariancia de calibre de estos lagrangianos, ya sea que no se vuelva a normalizar o no. Puedo vivir con teorías efectivas.
No todas las representaciones irreductibles (irrep para abreviar) del grupo de Poincaré conducen a un Lagrangiano. Un ejemplo (ver mi comentario a la respuesta de Julio Parra) son las representaciones de masa cero, "helicidad continua" (a veces llamada "helicidad infinita").
Hay, sin embargo, una manera de comenzar con una energía positiva irrep del grupo de Poincaré (es decir, un espacio de 1 partícula) y construir las álgebras de observables locales libres (es decir, que no interactúan) directamente, sin recurrir a un Lagrangiano. Se basa en métodos que provienen de álgebras de operadores; véase, por ejemplo, R. Brunetti, D. Guido y R. Longo, Modular Localization and Wigner Particles , Rev. Math. física 14 (2002) 759-786, arXiv:math-ph/0203021 .
No creo que exista tal cosa. Por lo general, los representantes solo lo ayudan a clasificar el tipo de objetos que tiene (es decir, los números cuánticos que los identifican) y cómo se transforman en el grupo correspondiente. Lo único similar que conozco es que algunas de las repeticiones del grupo de Poincaré, o en realidad los espacios vectoriales que las llevan, tienen una correspondencia con el espacio de soluciones de Hilbert de alguna ecuación de onda.
espín 0: ecuación de Klein-Gordon
spin 1/2 : Ecuación de Dirac
giro 3/2: Rarita-Schwinger
etc.
y puede construir un Lagrangiano/Acción que da estos como la dinámica.
qmecanico