¿Cómo obtengo la ley de transformación de un espinor de Weyl bajo una transformación de Lorentz?

Puedes escribir una transformación infinitesimal, con generador$J$, como

$$R(\delta\theta) = 1 + iJ\delta\theta$$ Una transformación finita es una sucesión de $N\to\infty$transformaciones infinitesimales, $$R(\theta) = (1 + iJ\theta/N)^N = e^{iJ\theta}$$

las rotaciones$O(3)$son isomorfos a$SU(2)$, con generadores$J = \sigma/2$. Las transformaciones de Lorentz son similares a las rotaciones, pero con funciones hiperbólicas en lugar de funciones trigonométricas;$\sinh=\gamma\beta$y$\cosh\phi=\gamma$, porque los impulsos satisfacen$\gamma^2-\gamma^2\beta^2=1$. Puede encontrar que los generadores de Lorentz son$K = \pm i\sigma/2$.

Poniendo esto junto, para la solución negativa, encuentras

$$R(\theta, \phi) =\exp\left(\ i \frac{\bf{\sigma}}{2}\cdot \theta +\frac{\bf{\sigma}}{2} \cdot \phi\right)$$ Este es el diestro $(1/2,0)$solución. (La solución positiva alternativa es la izquierda $(0,1/2)$solución.)

Está dando la transformación de Lorentz de un espinor de Weyl zurdo. Una derivación muy detallada de esas fórmulas se da en [1] por ejemplo.

En resumen, la aparición de las dos matrices de Pauli se deriva del hecho de que el álgebra de Lie$\mathfrak{so(3,1)}$del grupo lorentz es lo mismo que$\mathfrak{su(2)\times\mathfrak{su(2)}}$. Entonces las rotaciones son generadas por$\mathfrak{su(2)}$así como el impulso (sin embargo, tenga en cuenta el factor adicional$i$).

[1] Maggiore, Michele Introducción moderna a la teoría cuántica de campos , 2005