Con respecto a las diferentes representaciones del Grupo Lorentz y sus propiedades definitorias

Llevar$\Lambda$ser una matriz de Lorentz, es satisfactorio$\Lambda^T \eta \Lambda=\eta$. por escrito$\Lambda=\exp[-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}\mathcal J^{\mu\nu}]$, encontramos que los generadores satisfacen

Ahora podemos encontrar cualquier$n$representación dimensional simplemente encontrando$n\times n$matrices que satisfacen$(1)$y calcular la matriz exponencial. Por ejemplo, la representación de Dirac se da exponenciando los generadores$\frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$, dónde$\gamma^\mu$son las matrices gamma de Dirac.

Ahora deja$S^{\mu\nu}$ser los generadores de un$n$representación dimensional y escribir$M=\exp[-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}]$. ¿Es cierto que esta matriz satisface$M^T \eta M=\eta$? ¿Debería tal vez el$T$símbolo ser$\dagger$¿en cambio? ¿Qué debe hacer el$\eta$matriz sea para un$n$espacio vectorial dimensional? quizas lo es$\eta=\text{diag}(1,-1,-1,\cdots,-1)$, con$(n-1)$negativos?

La cosa es que traté de comprobar$M^T \eta M=\eta$con varias representaciones, y esto a veces es correcto, y a veces no, lo que me hizo pensar que estaba haciendo algo mal. Revisé mis matemáticas y no pude encontrar ningún error, así que ahora creo que$M^T \eta M=\eta$no es cierto en general, pero entonces, ¿cuál es el punto de encontrar tal$M$¿matriz? ¿Por qué nos preocupamos por más representaciones del Grupo Lorentz, si las matrices resultantes no poseen esta agradable propiedad? Sé que los campos cuánticos se transforman según diferentes representaciones del LG, pero ¿por qué debería ser así? ¿Por qué no tomamos cualquier transformación lineal? ¿Por qué nos importaría que esté relacionado con Lorentz Group?

Sé que si el campo se transforma como$\phi\to M\phi$, entonces podemos hacer lagrangianos covariantes, pero esto siempre está relacionado con algunas propiedades$M$satisface, independientemente de que esté relacionado con$\Lambda$. Por ejemplo, tome cualquier matriz que satisfaga$M^T M=1$; entonces$\mathcal L=\phi^T\phi$es covariante, y no necesitamos$M$venir de una representación de la LG.

Por ejemplo, la covarianza del Lagrangiano de Dirac se puede probar fácilmente observando que si el campo se transforma como$\psi\to M\psi$, entonces es cierto que$\bar M \gamma^\mu M=\Lambda^\mu_\nu \gamma^\mu$. Pero para probar esta relación no necesitamos usar$(1)$ni nada que venga del Grupo Lorentz, sino solo algo de álgebra. ¿No podríamos simplemente encontrar más matrices que satisfagan buenas relaciones algebraicas que permitan hacer lagrangianos covariantes, matrices que no están relacionadas con el Grupo de Lorentz?