¿Por qué los estados de una sola partícula proporcionan una repetición? del grupo no homogéneo de Lorentz?

Question

¿Por qué los estados de una sola partícula proporcionan una repetición? del grupo no homogéneo de Lorentz?

Física
poincaré-simetría
relatividad especial
teoría cuántica de campos
representaciones de grupo

1989189198

Siguiendo con esta pregunta : Weinberg dice

En general, puede ser posible mediante el uso de combinaciones lineales adecuadas de los $\psi_{p,\sigma}$ para elegir el $\sigma$ etiquetas de tal manera que $C_{\sigma'\sigma}(\Lambda, p)$ es bloque-diagonal; en otras palabras, para que el $\psi_{p,\sigma}$ con $\sigma$ dentro de cualquier bloque por sí mismos proporcionan una representación del grupo no homogéneo de Lorentz.

Pero, ¿por qué un grupo de Lorentz no homogéneo si, en primer lugar, realizamos una transformación de Lorentz homogénea sobre los estados, vía $U(\Lambda)$ ? También quiero dejar claro lo que significa que los estados "ofrecen" una representación.

Con respecto a la confusión anterior, el mismo escenario aparece nuevamente durante la discusión sobre el pequeño grupo. Aquí hay un poco de historia: $k$ es un 4-momentum "estándar", por lo que podemos expresar cualquier 4-momentum arbitrario $p$ como $p^{\mu} = L^{\mu}_{\nu}(p) k^{\nu}$ , dónde $L$ es una transformación de Lorentz dependiente de $p$ . Consideramos el subgrupo de transformaciones de Lorentz $W$ que se van $k$ invariante (pequeño grupo), y encuentre que:

$U(W)\psi_{k \sigma} = \sum_{\sigma'} D_{\sigma' \sigma}(W)\psi_{k \sigma'}$ . Luego dice:

los coeficientes $D(W)$ proporcionar una representación del pequeño grupo; es decir, para cualquier elemento $W$ y $W'$ , obtenemos $D_{\sigma' \sigma}(W'W) = \sum_{\sigma''}D_{\sigma' \sigma''}(W)D_{\sigma''\sigma}(W')$ .

Así es que incluso en la primera parte sobre el grupo de Lorentz, $C$ las matrices proporcionan la representación y no $\psi$ ?

Además, para el caso muy simplificado si $C_{\sigma'\sigma}(\Lambda, p)$ es completamente diagonal, estaría en lo correcto al decir lo siguiente en tal caso, para cualquier $\sigma$ ?

tu (Λ) ψ_{pag, σ} = k_{σ} (Λ, pag) ψ_{Λ pag, σ}

$U(\Lambda)\psi_{p,\sigma} = k_{\sigma}(\Lambda, p)\psi_{\Lambda p, \sigma}$

Solo que en este caso me queda claro que $U(\Lambda)$ forma una representación del grupo de Lorentz, ya que $\psi_{p,\sigma}$ están asignados a $\psi_{\Lambda p, \sigma}$ .

david z

Solo un consejo: no es necesario marcar las preguntas como preguntas de seguimiento tan audazmente. Hice algunas ediciones cosméticas a esta y a su última pregunta, pero si cambié el significado en algún lugar de lo que quería preguntar, corríjalo. :-)

Vibert

Una representación es un espacio vectorial con una acción de grupo adjunta. En álgebra lineal, es un montón de vectores

v^{i}

$v^i$ que se mueven bajo la acción del grupo, es decir, cuando

g

$g$ es un elemento de grupo entonces hay una matriz

D (g)^{i}_{j}

$D(g)^i{}_j$ que actúa sobre ellos como

D (g)^{i}_{j} v^{j}

$D(g)^i{}_j v^j$ . En QM/QFT, el espacio vectorial está dividido por estados

| ψ (p, σ) ⟩

$|\psi(p,\sigma)\rangle$ (o cualquier notación que use Weinberg). Eso es lo que quiere decir con "proporcionar" un representante.

1989189198

@Vibert: Eso es lo que pensé. Pero

U

$U$ las matrices mapean los estados

ψ

$\psi$ a los estados transformados de Lorentz, entonces debería ser el

C_{σ σ^{'}}

$C_{\sigma \sigma'}$ matrices que proporcionan una representación del grupo de Lorentz. Estoy confundido por qué Weinberg dice que los estados

ψ

$\psi$ son los que proporcionan tal representación. (Ver la pregunta editada)

Vibert

OK, ya veo, es una cuestión de idioma. Formalmente, una representación es un mapa lineal del grupo a su espacio vectorial, por lo que en este caso el mapa

W \mapsto D (W) .

$W \mapsto D(W).$ Pero cuando usas esta construcción, por supuesto que depende de ambos casos.

ψ

$\psi$ y las matrices de Lorentz actuando sobre ellos. Es por eso que en física usamos el término representación de una manera más descuidada que nuestros amigos matemáticos.

Respuestas (2)

¿Por qué los estados de una sola partícula proporcionan una repetición? del grupo no homogéneo de Lorentz?

Solo un consejo: no es necesario marcar las preguntas como preguntas de seguimiento tan audazmente. Hice algunas ediciones cosméticas a esta y a su última pregunta, pero si cambié el significado en algún lugar de lo que quería preguntar, corríjalo. :-)
Una representación es un espacio vectorial con una acción de grupo adjunta. En álgebra lineal, es un montón de vectores $v^i$ que se mueven bajo la acción del grupo, es decir, cuando $g$ es un elemento de grupo entonces hay una matriz $D(g)^i{}_j$ que actúa sobre ellos como $D(g)^i{}_j v^j$ . En QM/QFT, el espacio vectorial está dividido por estados $|\psi(p,\sigma)\rangle$ (o cualquier notación que use Weinberg). Eso es lo que quiere decir con "proporcionar" un representante.
@Vibert: Eso es lo que pensé. Pero $U$ las matrices mapean los estados $\psi$ a los estados transformados de Lorentz, entonces debería ser el $C_{\sigma \sigma'}$ matrices que proporcionan una representación del grupo de Lorentz. Estoy confundido por qué Weinberg dice que los estados $\psi$ son los que proporcionan tal representación. (Ver la pregunta editada)
OK, ya veo, es una cuestión de idioma. Formalmente, una representación es un mapa lineal del grupo a su espacio vectorial, por lo que en este caso el mapa $W \mapsto D(W).$ Pero cuando usas esta construcción, por supuesto que depende de ambos casos. $\psi$ y las matrices de Lorentz actuando sobre ellos. Es por eso que en física usamos el término representación de una manera más descuidada que nuestros amigos matemáticos.

Trimok · Answer 1

En el grupo no homogéneo de Lorentz $ISO(1,3)$ , tienes el grupo de traducción espacio-tiempo $\mathbb{R}^{1,3}$ y el grupo de Lorentz $SO(1,3)$ .

Empiezas a encontrar una representación del grupo de traslación del espacio-tiempo, eligiendo un momento $p$ . Entonces su representación debe tener un $p$ índice,

ψ_{pag} .

$\psi_p \, .$

Después de esto, deberá obtener la representación completa, encontrando una representación del grupo de Lorentz compatible con el impulso. $p$ , esto agregará otro índice $\sigma$ que corresponde a la polarización, entonces tendrás una representación,

ψ_{pag, σ},

$\psi_{p, \sigma} \, ,$

que es la representación del grupo no homogéneo de Lorentz.

Arte Marrón · Answer 2

Con respecto al significado de representación, aquí hay una definición de las notas de la conferencia "Mecánica cuántica para matemáticos" de Peter Woit (disponible en línea), sección 1.3:

Definición (Representación). Una representación (compleja) ( $\pi, V$ ) de un grupo $G$ es un homomorfismo
$π : gramo \in GRAMO \to π (gramo) \in GRAMO L (V)$ $\pi: g \in G \rightarrow \pi(g) \in GL(V)$ dónde $GL(V)$ es el grupo de mapas lineales invertibles $V \rightarrow V$ , con $V$ un espacio vectorial complejo.

Decir que un mapa es un homomorfismo significa
$π ({gramo}_{1}) π ({gramo}_{2}) = π ({gramo}_{1} {gramo}_{2})$ $\pi(g_1) \pi(g_2) = \pi(g_1g_2)$ Cuando $V$ es de dimensión finita y hemos elegido una base de $V$ , entonces tenemos una identificación de mapas lineales y matrices $GRAMO L (V) ≃ GRAMO L (norte, C)$ $GL(V) \simeq GL(n,\boldsymbol{C})$ dónde $GL(n,\boldsymbol{C})$ es el grupo de los invertibles $n$ por $n$ matrices complejas.

Entonces, la representación es el homomorfismo (el mapa de conservación de operaciones) del grupo $U(\Lambda)$ a las matrices de transformación (C y D de Weinberg), pero estas matrices requieren un espacio vectorial (el $\psi$ s), sobre los que actuar.

Por lo demás, aquí está mi respuesta (advertencia emptor, solo soy un estudiante lento):

Esta sección 2.5 se titula "Estados de una partícula". Si $C$ resulta ser reducible (bloque-diagonalizable), los diferentes bloques son independientes entre sí (sin mezcla entre bloques) y se interpretan como diferentes especies de partículas. Entonces, para un solo estado de partícula, se asume un solo bloque irreducible.

En este argumento, está bien generalizar de transformaciones homogéneas a no homogéneas, porque las traducciones no se mezclan $\sigma$ 's y, por lo tanto, no afectan la estructura de bloque de $C$ :

tu (1, a) Ψ_{pag, σ} = {mi}^{- i pag \cdot a} Ψ_{pag, σ}

$U(1,a) \Psi_{p,\sigma} = e^{-ip\cdot a} \Psi_{p,\sigma}$

Finalmente, en el caso de que plantees una diagonal completa $C$ , creo que te quedas con un montón de especies de partículas sin $\sigma$ -mezcla en absoluto, es decir, escalares, cada uno con un pequeño grupo trivial ( $k=1$ ).

¿Por qué los estados de una sola partícula proporcionan una repetición? del grupo no homogéneo de Lorentz?

1989189198

david z

Vibert

1989189198

Vibert

Respuestas (2)

Trimok

Arte Marrón

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