¿Cuál es la inconsistencia entre la electrodinámica de Maxwell y la mecánica newtoniana?

La diferencia obvia es que las ecuaciones de Newton retienen su forma para todos los marcos de referencia inerciales cuando se usa el Principio de Relatividad de Galileo, pero las ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo esta transformación.

En su lugar, se debe usar la transformada de Lorentz, que reconoce que hay una velocidad fija para la luz,$c$. Maxwell reconoció este límite cuando descubrió por primera vez la forma de las ondas electromagnéticas; el valor teórico coincidía bien con los mejores resultados experimentales de la velocidad de la luz.

El resultado final fue la teoría de la Relatividad Especial y la modificación de las Leyes del Movimiento de Newton para hacerlas invariantes de Lorentz.

Sin embargo, debo confesar que siempre he fallado en ver cuál es esa inconsistencia. Lo que quiero aquí es encontrar una motivación para el requisito de la relatividad especial.

No habría habido inconsistencia si existiera el éter luminífero . La mecánica newtoniana necesitaba un medio para todas sus manifestaciones ondulatorias.

El éter o éter luminífero ("luminífero", que significa "portador de luz"), fue el medio postulado para la propagación de la luz. Se invocó para explicar la capacidad de la luz aparentemente basada en ondas para propagarse a través del espacio vacío, algo que las ondas no deberían poder hacer. La suposición de una plenitud espacial de éter luminífero, en lugar de un vacío espacial, proporcionó el medio teórico que requerían las teorías ondulatorias de la luz.

Si el experimento de Michelson Morley hubiera encontrado el éter, no hay problema.

Así que la inconsistencia vino porque los experimentos demostraron que no hay éter luminífero a través del cual, incluida la luz, todo fluya, en la mecánica newtoniana.

Así, Einstein postuló que las transformaciones de Lorenz de la relatividad especial, que al principio solo aparecían en la teoría electromagnética, también describían la mecánica a altas velocidades, para tener un marco coherente para la física; lo cual fue profético, prediciendo la revolución de la era nuclear.

Una de las soluciones a las ecuaciones de Maxwell tiene la forma de una ecuación de onda, donde la velocidad a la que se propagan las ondas es$c$, donde (en unidades SI)$c = \sqrt{1/(\varepsilon_0 \mu_0)}$, y$\varepsilon_0$(permitividad del vacío) &$\mu_0$(permeabilidad del vacío) son constantes en las ecuaciones de Maxwell.

Pero, si la mecánica newtoniana es correcta (realmente: si la relatividad galileana es correcta),$c$no puede ser una constante, ya que siempre puede elegir un marco en movimiento en el que la velocidad de las ondas será menor o mayor que,$c$.

Esto significa una de dos cosas:

• o bien las ecuaciones de Maxwell son verdaderas sólo en algún marco de referencia privilegiado (lo llamo el 'marco de reposo' a continuación);
• o la relatividad galileana (y, por lo tanto, la mecánica newtoniana) no es correcta y, en particular, está cada vez más lejos de ser correcta para marcos que se mueven a velocidades relativas$v$cerca$c$siendo una aproximación cada vez más buena cuando$v \ll c$(esto debe ser cierto porque sabemos que hace muy buenas predicciones para marcos como este).

Bueno, esto es perfectamente comprobable. En primer lugar, los movimientos ondulatorios predichos por las ecuaciones de Maxwell existen en la realidad: son ondas electromagnéticas, incluidas ondas de luz, ondas de radio, etc.

Entonces, el experimento que debes hacer es medir la velocidad de estas ondas en marcos que se mueven entre sí. De hecho, puede hacer esto en un solo marco midiendo la velocidad de las ondas en la dirección en que se mueve el marco (en relación con algún otro marco) y perpendicular a él. Si la relatividad galileana es correcta, las velocidades serán diferentes y será posible encontrar el "marco de reposo" especial en el que las ecuaciones de Maxwell sean correctas. si la relatividad galileana no es correcta, entonces no será posible encontrar dicho marco: las ecuaciones de Maxwell serán correctas en todos los marcos (inerciales).

Esto fue hecho, por supuesto, por Michelson & Morley , donde el marco 'en movimiento' es el marco de la Tierra, y sabemos que el marco de la Tierra debe moverse porque la Tierra se mueve alrededor del Sol, así que incluso si el marco del Sol no está en descanse de tal manera que el marco de la Tierra esté momentáneamente en reposo, entonces el marco de la Tierra no estará en reposo medio año después.

Y el resultado del experimento fue, por supuesto, que las ecuaciones de Maxwell son correctas en todos los marcos inerciales (la velocidad de la luz es la misma medida desde cualquier marco inercial) y, por lo tanto, la relatividad galileana debe ser incorrecta, y si es incorrecta entonces la mecánica newtoniana también es incorrecta, ya que se basa en la relatividad galileana.

(Tenga en cuenta que no he mencionado muchas sutilezas involucradas en hacer el experimento y muchas soluciones alternativas propuestas, como arrastrar éter, etc., todas las cuales realmente se descartaron más tarde. Vale la pena leer la historia si está interesado).

Dos de las ecuaciones de Maxwell se combinan para producir una ecuación de onda con una velocidad de onda fija, la velocidad de la luz$c$, para dos observadores en movimiento relativo entre sí, contrario al comportamiento de las ondas en la mecánica newtoniana.

Según Carlos Rovelli en su Quantum Gravity , la principal inconsistencia es que la teoría de Newton es no local mientras que la teoría de Maxwell es local. Lo que esto significa en un lenguaje más realista es que la teoría de la gravedad de Newton tiene acción a distancia: si la masa del sol se redujera repentinamente a la mitad, sentiríamos instantáneamente los efectos aquí en la tierra. Mientras que la teoría de Maxwell tiene un campo electromagnético que media en la transmisión de la luz, por lo tanto, veríamos que el sol se oscurece después de unos ocho minutos.

Lo que Einstein se propuso hacer fue encontrar una teoría local de la gravedad, es decir, en esencia, una teoría de campo de la gravedad. Resulta que este campo es la métrica del espacio-tiempo. Vale la pena señalar que Newton se dio cuenta de que esta acción a distancia era un fracaso de su teoría, pero no vio forma de evitarlo. Dado que ya había inventado el cálculo, probablemente sea demasiado pedirle que también invente la geometría no euclidiana.

Tengo un libro de texto de secundaria que sugiere un experimento mental destinado a resaltar la inconsistencia de la relatividad galileana y la electrodinámica sin recurrir a las matemáticas. El libro está destinado a estudiantes que no pueden entender las matemáticas de las ecuaciones de Maxwell y solo saben que algunas de sus soluciones son ondas.

No estoy completamente convencido de este ejemplo, que es el siguiente: suponga que puede hacer que dos protones se muevan a la misma velocidad constante a lo largo de caminos rectos paralelos. ¿Cuáles son las fuerzas entre ellos? Seguramente se repelen debido a los campos eléctricos que generan. Además, en un marco de referencia en el que los protones se mueven, pueden considerarse corrientes diminutas. Por lo tanto, cada uno de ellos generaría un campo magnético que terminaría atrayendo al otro protón, como es de esperar de la interacción entre dos corrientes paralelas. Entonces la atracción debida al campo magnético "debilita" la repulsión debida al campo eléctrico.

Ahora bien, si elegimos un marco de referencia donde los protones están en reposo, no hay "corriente", ni campo magnético y, por lo tanto, no hay fuerza de atracción. Entonces la fuerza neta entre los protones es diferente. ¿Como puede ser?

Entiendo la idea de "pequeña corriente", pero la idea completa me parece débil, probablemente porque solo tenemos dos protones.

Acabo de empezar a pensar en ello, y realmente no puedo identificar lo que me molesta. Me gustaría tener un ejemplo intuitivo simple que no involucre matemáticas, pero no me gustaría un ejemplo de movimiento de manos que solo tiene la apariencia de ser riguroso.

Quizás uno podría considerar dos haces paralelos de protones que, por alguna razón, avanzan a lo largo de caminos paralelos a pesar de la repulsión mutua (de todos modos, es un experimento mental).

Cualquier idea sobre esto es apreciada.

PD Las ediciones anteriores del mismo libro de texto siguieron la línea estándar de razonamiento, involucrando el experimento de Michelson Morley. Supongo que concluyeron que este ejemplo es mejor pero, de nuevo, no estoy muy convencido.