Contradicción entre la teoría electromagnética clásica y el principio de relatividad

No estoy seguro de haber entendido la pregunta exactamente, pero parece estar preguntando qué es exactamente sobre el principio (de Galileo) de la relatividad que hace que la teoría electromagnética (clásica) sea incompatible con ella.

El principio de la relatividad, como usted dice, básicamente establece que no hay ningún experimento físico que pueda realizar en dos marcos de inercia diferentes que se mueven entre sí para decir "cuál" de ellos se está "realmente" moviendo: la pregunta misma no tiene sentido. . Esta es una consecuencia de la forma en que el espacio y el tiempo se transforman cuando te mueves de un marco inercial a otro.

                                                         

Tratemos de poner esto en un formalismo matemático usando nuestro "sentido común". Suponga que tiene dos personas, una persona ($S^\prime$) en un tren, moviéndose hacia la derecha con una velocidad$v$, y otro en una plataforma ($S$), y si la persona en la plataforma quisiera saber cuáles son las coordenadas de un evento$(x,t)$se parecería a alguien en el tren$(x^\prime, t^\prime)$. Para simplificar, podemos elegir$x=0=x^\prime$y$t=0=t^\prime$. Usando el "sentido común", es un ejercicio lo suficientemente simple como para mostrar a partir de la figura anterior que:

$$\begin{equation*} \begin{aligned} x^\prime &= x - vt\\ t^\prime &= t \end{aligned} \end{equation*}$$

Son las llamadas Transformaciones de Galileo , y relacionan la forma en que la persona en$S$observa el mundo, a la forma en que la persona en$S^\prime$observa el mundo. Una consecuencia natural de esto es que los dos observadores nunca coincidirán en las velocidades de un tercer objeto. Por ejemplo, suponga que había un perro corriendo (hacia la derecha) en el tren y ambos observadores estaban midiendo su velocidad. La velocidad medida por alguien en la plataforma sería

$$u = \frac{\Delta x}{\Delta t},$$

mientras que la observada por alguien en el tren sería

$$u^\prime = \frac{\Delta x^\prime}{\Delta t^\prime}.$$

Usando las transformaciones galileanas anteriores y el hecho de que$v$es una constante, es bastante trivial mostrar que una consecuencia natural es que

$$u^\prime = u - v.$$

En otras palabras, la velocidad del perro observada desde el tren sería menor que la velocidad del perro observada desde el andén exactamente por la velocidad relativa del tren y el andén. Pero entonces, esto es solo sentido común, ¿verdad? Además, podemos hacer el mismo truco anterior para mostrar que ambos observadores siempre estarían de acuerdo en la aceleración del perro, ya que:

$$a^\prime = \frac{\Delta u^\prime}{\Delta t^\prime} = \frac{\Delta u}{\Delta t} = a,$$

como es de esperar ya que los marcos son inerciales, pero lo que también significa que las leyes físicas en ambos marcos tendrán la misma forma, ya que las Leyes de Newton solo tratan con aceleraciones.

Sin embargo, una consecuencia importante de esta fórmula de "suma de velocidades" es que no existe una velocidad (finita) que los observadores en$S$y$S^\prime$estará de acuerdo, ya que si este fuera el caso, necesitaría tener

$$\begin{equation*} \begin{aligned} u^\prime &= u - v \text{ (which is always true according to Galilean Relativity)}\\ u^\prime &= k = u \text{ (for some frame-independent speed $k$)} \end{aligned} \end{equation*}$$

El único valor de$k$que resuelve las ecuaciones anteriores es$k=\infty$. La única velocidad independiente del marco (es decir, la única velocidad en la que todos los observadores en todos los marcos inerciales pueden estar de acuerdo) es el infinito .

Como esto es una consecuencia directa de las Transformaciones de Galileo, si tuviéramos otra teoría que requería una velocidad finita independiente del marco , entonces tendríamos que decir que esa teoría no era compatible con el Principio de Relatividad de Galileo, y esto es precisamente lo que requería el electromagnetismo clásico. Según él, hay una velocidad,$c$, que, a pesar de ser muy grande, no es infinito, y en el que todos en todos los marcos inerciales podrían estar de acuerdo. Por lo tanto, si el electromagnetismo se considerara "correcto", requerimos que nuestra relatividad galileana de "sentido común" sea incorrecta o que el electromagnetismo clásico no sea compatible con el principio de la relatividad.

Sin embargo, resulta que el Electromagnetismo Clásico es compatible con la teoría de la relatividad, es solo que nuestras Transformaciones Galileanas de "sentido común" no son verdaderas, y tienen que ser reemplazadas con las "Transformaciones de Lorentz" correctas, lo que lleva a la Especial Teoría de la Relatividad, que es consistente con el Electromagnetismo. (De hecho, ¡es un ejercicio divertido sobre cómo el campo magnético es un efecto completamente relativista!)

Daré mi opinión sobre esto.

El enunciado del principio de relatividad es que dos marcos inerciales, dos cualesquiera y, por extensión, todos ellos, son equivalentes. Por lo tanto, un objeto en movimiento sería descrito por las mismas leyes en cualquier marco de referencia, solo cambiando las coordenadas en consecuencia. Sin embargo, aquí tenemos dos opciones, por así decirlo. Una es usar las leyes de transformación de Galileo entre dos marcos de referencia, las leyes de Newton serían las mismas y la cinemática y la dinámica también. El problema es que las leyes de Maxwell y especialmente la ecuación de onda (para la luz) que encuentras en ellas no es invariante bajo tal transformación de coordenadas.$x \rightarrow x'= x - Vt.$Además, son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz, que es la otra opción. El problema es que las leyes de Newton no son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz y, por lo tanto, debemos decidir qué hacer.

En las transformaciones de Galileo, para encontrar la velocidad de cualquier fenómeno (es decir,$v$) al cambiar de un marco de referencia a uno en movimiento (digamos con velocidad$V$), los agregamos como en$v \rightarrow v' = v -V.$Esto significa que siempre hay un marco de referencia para el cual los fenómenos pueden estar en reposo. Si son equivalentes, entonces la luz podría detenerse y estudiarse en reposo en ese marco, la ecuación de onda en ese marco debería tener$c=0.$Si uno acepta que la luz sigue la misma regla de Galileo, debería haber un marco de referencia para el cual la luz está en reposo.

Para las ondas electromagnéticas ese no es el caso, uno no puede encontrar un marco de referencia donde la luz esté en reposo, todos los marcos de referencia, pase lo que pase, miden la misma velocidad para la luz. Las transformaciones galileanas no son correctas para la teoría de Maxwell.

Si uno acepta que la luz siempre se está moviendo, entonces debería aceptar que hay un marco de referencia preferido con respecto al cual la luz siempre se está moviendo y que otros marcos de referencia tienen que ser estudiados con respecto a ese en particular para evitar que un fotón descanse (vamos decir prohibir viajar en$c$) y que las leyes de Maxwell están realmente escritas con respecto a ese marco de referencia. Por lo tanto, no todos son equivalentes, uno está en reposo absoluto, por lo que la luz tiene$c$constante en ese marco y es obligatorio usarlo para la luz. Entonces, necesitamos renunciar al principio de relatividad de equivalencia de todos los marcos de referencia.