¿Cuál es la función de densidad de probabilidad a lo largo del tiempo para una caminata aleatoria 1-D en una línea con límites?

Question

¿Cuál es la función de densidad de probabilidad a lo largo del tiempo para una caminata aleatoria 1-D en una línea con límites?

Física
difusión
probabilidad
procesos estocásticos

vector07

Si una sola partícula se asienta sobre una línea infinita y se somete a un paseo aleatorio 1-D, la densidad de probabilidad de su evolución espacio-temporal es capturada por una distribución gaussiana 1-D.

\begin{aligned} PAG (X, t) & = \frac{1}{\sqrt{4 π D t}} {mi}^{- \frac{(X - X_{0})^{2}}{4 D t}} \end{aligned}

$\begin{align} P(x,t)&=\frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}}e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}} \end{align}$

Sin embargo, supongamos que hay límites infranqueables en la línea; en un lado, o en ambos lados. ¿Hay alguna condición límite para la cual exista una función de densidad de probabilidad de forma cerrada sobre cómo se comportará esta partícula con el tiempo? Cualquier referencia a tales soluciones sería extraordinariamente útil.

EDITAR. Intentando generalizar el resultado de Emilio a continuación para una posición de partícula inicial arbitraria $-L/2 < x_0 < L/2$ .

Tuve que resolverlo con el ejemplo. Descubrí que se requerían las siguientes "imágenes" para tener en cuenta los reflejos de una partícula descentrada en la posición $x_0$ : para la primera y segunda reflexión en ambos lados, las nuevas gaussianas tenían que estar centradas en ( $-2L+x_0$ , $-L-x_0$ , $x_0$ , $L-x_0$ , $2L+x_0$ ). A partir del patrón, creo que se puede expresar la solución completa, para todos los números enteros $n$ , como:

\begin{aligned} PAG (X, t) & = \frac{1}{\sqrt{4 π D t}} \sum_{norte = - \infty}^{\infty} {mi}^{- \frac{(X - norte L - (- 1)^{norte} X_{0})^{2}}{4 D t}} \end{aligned}

$\begin{align} P(x,t)&=\frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-nL-(-1)^nx_0)^2}{4Dt}} \end{align}$

donde el viejo $x_0$ ahora se define como $nL+(-1)^{n}x_0$

mike flynn

¿Qué tipo de pasos estás tomando? Además, ¿qué quieres decir con ser "impasible"? ¿Quieres decir que rechazas cualquier paso que te lleve más allá del límite?

johannes

Las condiciones de contorno periódicas vienen a la mente.

usuario10851

Un consejo general: la "forma cerrada" no está muy bien definida. Lo que la gente generalmente quiere decir es "en términos de buenas funciones que me gustan y entiendo", pero esto es claramente subjetivo. Hay muchas soluciones a los problemas matemáticos de inspiración física que se comportan perfectamente bien y son analíticas, pero que nadie se ha molestado en asignarles abreviaturas.

e

$\mathrm{e}$ ,

\sin

$\sin$ o

J_{0}

$J_0$ . Estas funciones aún son manipulables y fácilmente calculables con precisión arbitraria.

Dilatón

¿Por qué hay un closevote en esto? Es una pregunta perfectamente legítima, bien definida y bien formulada.

vector07

@MikeFlynn exactamente. Hay varias formas de imponer una condición límite en la que no se permite que las partículas pasen más allá, y por ahora estoy interesado en cualquiera de esas condiciones.

vector07

@ChrisWhite Se tomó el consejo, y admito que incluso las soluciones que requieren una estimación numérica son potencialmente útiles para mi problema. Por otro lado, no soy un mago de las matemáticas, así que progresivamente me siento menos cómodo cuanto más sofisticada es la solución. Ya estoy fuera de mi alcance.

mike dunlavey

Con respecto al comentario de @MikeFlynn, sus partículas podrían 1) rebotar en la barrera, 2) detenerse en la barrera, 3) si golpean la barrera, considere ese movimiento inválido e intente nuevamente. Estos hacen una gran diferencia en lo que es la distribución.

Emilio Pisanty

@MikeDunlavey ¿En qué se diferencian 1 y 3? A menos que haya un retraso de tiempo (¿y cómo diablos implementarías eso?), operativamente me parecen exactamente iguales.

vector07

Rechazar una trayectoria que cruza un límite, como en 3, me suena algorítmico, no físico.

mike dunlavey

@Emilio: Para 1) Estaba pensando en una pelota que rebota, donde no tiene que rebotar donde comenzó. Para 3) estaba pensando si la trayectoria de la pelota golpearía la pared, esa trayectoria simplemente no se intenta, se rechaza.

Emilio Pisanty

@MikeDunlavey, ¿adónde va la pelota?

vector07

@EmilioPisanty ¿Puedes revisar mis ediciones arriba de Emilio? ¿Se parece a lo que estabas pensando para una posición de inicio asimétrica?

Emilio Pisanty

Casi pero no del todo. Tenga en cuenta que necesitará dos series independientes de partículas espaciadas por

2 L

$2L$ , ya que se rompe la simetría. (Piense en pararse entre dos espejos bastante cerca de uno de ellos. Verá muchos pares de usted mismo). Así, para una partícula en

x_{0}

$x_0$ y espejos en

\pm L / 2

$\pm L/2$ , tendrás una serie en

x_{0} + 2 L n

$x_0+2L n$ y uno en

L - x_{0} + 2 L n = (2 n + 1) L - x_{0}

$L-x_0+2Ln=(2n+1)L-x_0$ . (Para

x_{0} = 0

$x_0=0$ , por supuesto se reducen a una sola serie en

n L

$nL$ .) Cada uno de estos sumará una función theta diferente, aunque es posible que encuentre una forma de unir los dos términos en el DLMF .

vector07

@EmilioPisanty Creo que tus dos series y mi serie son iguales. Para mi serie, n=-2 a 2 rendimientos

- 2 L + x_{0}

$-2L+x_0$ ,

- L - x_{0}

$-L-x_0$ ,

x_{0}

$x_0$ ,

L - x_{0}

$L-x_0$ ,

2 L + x_{0}

$2L+x_0$ , y creo que esto es lo mismo que su primera serie sumada para n=-1 a 1 (

- 2 L + x_{0}

$-2L+x_0$ ,

x_{0}

$x_0$ ,

2 L + x_{0}

$2L+x_0$ ) más su segunda serie para n=-1 a 0 (

- L - x_{0}

$-L-x_0$ ,

L - x_{0}

$L-x_0$ ). Todavía no estoy muy seguro de cómo usar las funciones theta, todavía estoy digiriendo esa pieza.

Emilio Pisanty

Bien, entonces: si coincide, coincide. Será difícil lograr que coincida con una función theta en el

(- 1)^{n} x_{0}

$(-1)^n x_0$ forma, sin embargo.

Emilio Pisanty

Las funciones theta son útiles si desea graficarlas o calcularlas, ya que son mucho más fáciles para sus recursos computacionales, pero no son necesarias y depende de lo que desee de su solución. Resumí la serie usando Mathematica, pero puede obtenerla de DLMF 20.2.3 desplegando

\cos (2 n z) = \frac{1}{2} (e^{2 i n z} + e^{- 2 i n z})

$\cos(2nz)=\frac12(e^{2inz}+e^{-2inz})$ y masajeando tu expresión para que coincida con esa forma. Una vez en forma de función theta, tiene todo el peso del DLMF para manipularlo y cualquier CAS lo graficará fácilmente. ¿Qué quieres de esa solución, de todos modos?

vector07

Ese DLMF es un gran recurso, es bueno saberlo. Jugaré con las funciones theta cuando tenga la oportunidad. En cuanto al propósito, eso es bastante complicado. Estoy tratando de construir una simulación de algo en biología, y este es el caso más simple. Para ser honesto, no pensé que sería capaz de resolver ni siquiera este problema del caso base, pero su enfoque es tan elegante y escalable que creo que podría tener la oportunidad de resolver el problema completo. Afortunadamente, creo que las condiciones de contorno reflejadas son las condiciones óptimas para mi problema.

Emilio Pisanty

Consulte también Aplicaciones físicas .

Respuestas (2)

¿Cuál es la función de densidad de probabilidad a lo largo del tiempo para una caminata aleatoria 1-D en una línea con límites?

¿Qué tipo de pasos estás tomando? Además, ¿qué quieres decir con ser "impasible"? ¿Quieres decir que rechazas cualquier paso que te lleve más allá del límite?
Un consejo general: la "forma cerrada" no está muy bien definida. Lo que la gente generalmente quiere decir es "en términos de buenas funciones que me gustan y entiendo", pero esto es claramente subjetivo. Hay muchas soluciones a los problemas matemáticos de inspiración física que se comportan perfectamente bien y son analíticas, pero que nadie se ha molestado en asignarles abreviaturas. $\mathrm{e}$ , $\sin$ o $J_0$ . Estas funciones aún son manipulables y fácilmente calculables con precisión arbitraria.
¿Por qué hay un closevote en esto? Es una pregunta perfectamente legítima, bien definida y bien formulada.
@MikeFlynn exactamente. Hay varias formas de imponer una condición límite en la que no se permite que las partículas pasen más allá, y por ahora estoy interesado en cualquiera de esas condiciones.
@ChrisWhite Se tomó el consejo, y admito que incluso las soluciones que requieren una estimación numérica son potencialmente útiles para mi problema. Por otro lado, no soy un mago de las matemáticas, así que progresivamente me siento menos cómodo cuanto más sofisticada es la solución. Ya estoy fuera de mi alcance.
Con respecto al comentario de @MikeFlynn, sus partículas podrían 1) rebotar en la barrera, 2) detenerse en la barrera, 3) si golpean la barrera, considere ese movimiento inválido e intente nuevamente. Estos hacen una gran diferencia en lo que es la distribución.
@MikeDunlavey ¿En qué se diferencian 1 y 3? A menos que haya un retraso de tiempo (¿y cómo diablos implementarías eso?), operativamente me parecen exactamente iguales.
Rechazar una trayectoria que cruza un límite, como en 3, me suena algorítmico, no físico.
@Emilio: Para 1) Estaba pensando en una pelota que rebota, donde no tiene que rebotar donde comenzó. Para 3) estaba pensando si la trayectoria de la pelota golpearía la pared, esa trayectoria simplemente no se intenta, se rechaza.
@EmilioPisanty ¿Puedes revisar mis ediciones arriba de Emilio? ¿Se parece a lo que estabas pensando para una posición de inicio asimétrica?
Casi pero no del todo. Tenga en cuenta que necesitará dos series independientes de partículas espaciadas por $2L$ , ya que se rompe la simetría. (Piense en pararse entre dos espejos bastante cerca de uno de ellos. Verá muchos pares de usted mismo). Así, para una partícula en $x_0$ y espejos en $\pm L/2$ , tendrás una serie en $x_0+2L n$ y uno en $L-x_0+2Ln=(2n+1)L-x_0$ . (Para $x_0=0$ , por supuesto se reducen a una sola serie en $nL$ .) Cada uno de estos sumará una función theta diferente, aunque es posible que encuentre una forma de unir los dos términos en el DLMF .
@EmilioPisanty Creo que tus dos series y mi serie son iguales. Para mi serie, n=-2 a 2 rendimientos $-2L+x_0$ , $-L-x_0$ , $x_0$ , $L-x_0$ , $2L+x_0$ , y creo que esto es lo mismo que su primera serie sumada para n=-1 a 1 ( $-2L+x_0$ , $x_0$ , $2L+x_0$ ) más su segunda serie para n=-1 a 0 ( $-L-x_0$ , $L-x_0$ ). Todavía no estoy muy seguro de cómo usar las funciones theta, todavía estoy digiriendo esa pieza.
Bien, entonces: si coincide, coincide. Será difícil lograr que coincida con una función theta en el $(-1)^n x_0$ forma, sin embargo.
Las funciones theta son útiles si desea graficarlas o calcularlas, ya que son mucho más fáciles para sus recursos computacionales, pero no son necesarias y depende de lo que desee de su solución. Resumí la serie usando Mathematica, pero puede obtenerla de DLMF 20.2.3 desplegando $\cos(2nz)=\frac12(e^{2inz}+e^{-2inz})$ y masajeando tu expresión para que coincida con esa forma. Una vez en forma de función theta, tiene todo el peso del DLMF para manipularlo y cualquier CAS lo graficará fácilmente. ¿Qué quieres de esa solución, de todos modos?
Ese DLMF es un gran recurso, es bueno saberlo. Jugaré con las funciones theta cuando tenga la oportunidad. En cuanto al propósito, eso es bastante complicado. Estoy tratando de construir una simulación de algo en biología, y este es el caso más simple. Para ser honesto, no pensé que sería capaz de resolver ni siquiera este problema del caso base, pero su enfoque es tan elegante y escalable que creo que podría tener la oportunidad de resolver el problema completo. Afortunadamente, creo que las condiciones de contorno reflejadas son las condiciones óptimas para mi problema.

Emilio Pisanty · Answer 1

Esto probablemente se pueda resolver con el método de las imágenes, dependiendo de la formulación precisa del problema. La idea principal sería colocar partículas de imagen en el tiempo inicial en posiciones dadas al tratar sus límites infranqueables como espejos; esto hace que la probabilidad fluya en el límite cero.

Para dar una formulación más precisa, suponga que su problema es

\frac{\partial PAG}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} PAG}{\partial X^{2}} bajo \frac{\partial PAG}{\partial X} (- L / 2, t) = 0 = \frac{\partial PAG}{\partial X} (L / 2, t) y PAG (X, 0) = d (X),

$\frac{\partial P}{\partial t}=D\frac{\partial^2P}{\partial x^2}\text{ under }\frac{\partial P}{\partial x}(-L/2,t)=0=\frac{\partial P}{\partial x}(L/2,t)\text{ and }P(x,0)=\delta(x),$ donde inicialmente coloqué la partícula en medio de las barreras por simplicidad, pero esto puede modificarse. Luego, la solución está dada, por linealidad, por su expresión, sumada para

x_{0} = n L

$x_0=nL$ para todos los enteros

n

$n$ :

PAG (X, t) = \frac{1}{\sqrt{4 π D t}} \sum_{norte = - \infty}^{\infty} {mi}^{- \frac{(X - norte L)^{2}}{4 D t}} .

$P(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-nL)^2}{4Dt}}.$ Esto se puede resolver exactamente en términos de las funciones theta de Jacobi , lo que hace que los cálculos y los gráficos sean mucho más rápidos, pero no necesariamente (en un primer momento) hace que sea más fácil trabajar con esto:

PAG (X, t) = \frac{1}{L} ϑ_{3} (\frac{π X}{L}, {mi}^{- \frac{4 D π^{2} t}{L^{2}}}) .

$P(x,t)=\frac{1}{L}\vartheta _3\left(\frac{\pi x}{L},e^{-\frac{4 D \pi ^2 t}{L^2}}\right).$ (Para partículas iniciales colocadas asimétricamente, tendría dos series de gaussianas separadas por

2 L

$2L$ , entonces por lo tanto dos funciones theta.)

No estoy seguro de que esto sea muy útil por sí mismo, pero el método de las imágenes es muy poderoso.

También fue muy divertido tomar $P\mapsto\psi$ ser una función de onda. Esto te obliga a volver a normalizar, y la dependencia de este factor de $D$ , si no recuerdo mal, son un buen ejercicio para alguien con demasiado tiempo libre.
Solo un comentario sobre las soluciones en serie: creo que su ejemplo converge bastante rápido, pero con diferentes condiciones de contorno, la convergencia puede ser muy lenta. Vale la pena probar el teorema de suma de Poisson en estos casos. En el caso relacionado, la suma de Poisson colapsó inesperadamente una serie numéricamente horrible (se necesitan miles de términos) en una solución analítica muy simple.
Interesante, necesito digerir esto. ¿Qué implica exactamente un límite de espejo? ¿Es equivalente a decir que para una trayectoria de partícula específica, una partícula que podría haber viajado una distancia $x_a+x_b$ , dónde $x_a$ es la distancia al límite, y $x_b$ es la distancia que podría haber viajado más allá del límite, en lugar de eso recorre la distancia $x_a-x_b$ ?
@ vector07 Sí, eso es todo. Usted "dobla hacia atrás" todas las trayectorias en el límite, lo que significa que el límite tiene una probabilidad de reflexión de 1. Por cada trayectoria que recorre $x_a-x_b$ entonces hay igualmente muchos que van tanto a la izquierda como a la derecha, de modo que los puntos del intervalo medio todavía tienen una probabilidad de 1/2 para la derecha y la izquierda.
Sin embargo, es más fácil repensar el "repliegue" como agregar otra copia reflejada de su árbol de trayectoria detrás del "espejo" en el límite.
@EmilioPisanty Creo que lo entiendo, eso ayuda mucho. Creo que lo he generalizado para el caso en que la posición inicial esté entre -L/2 y L/2, pero ¿te importaría revisar mi trabajo?
+ Esto parece una gran respuesta, aunque en mi pereza me pregunto si se trata de alguna distribución conocida simple, como Beta.

Trimok · Answer 2

Su solución es, de hecho, una solución particular de la ecuación de calor unidimensional , $\frac{\partial P}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P}{\partial x^2}$ ,con condición inicial $P(x,0) = \delta (x-x_0)$

Una forma tradicional de resolver esta ecuación es usar la Serie de Fourier

Vea algunas soluciones en 1-D , como ecuaciones homogéneas o ecuaciones no homogéneas , u otros ejemplos

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