Paseo aleatorio reflejado aleatoriamente

Si$p=1$y$d$no está vacío, entonces claramente la caminata aleatoria no es transitoria, porque como usas el$\ell^1$norma, hay una superficie cerrada que siempre refleja al caminante hacia la región finita cerrada. Si acaso,$p = 0$entonces la caminata es transitoria, ya que las caminatas aleatorias simples en 3 dimensiones son transitorias.

Ahora bien, si hay un$p_c<1$su existencia depende de las especificidades del conjunto$d$. Ciertamente, existen algunas opciones para$d$que son transitorios: si el conjunto$\{d_n\}$es finito, entonces claramente hay una probabilidad finita de terminar fuera del caparazón final (a menos que$p=1$). Dado que la caminata aleatoria en la región externa a este caparazón es transitoria, entonces la probabilidad de regresar al interior del caparazón infinitamente muchas veces es cero, ya que el caparazón tiene un límite finito, y la probabilidad de regresar a un sitio específico en el sitio límite un número infinito de veces es cero. De este modo$p_c = 1$.

Además, en el caso de que$d_n = n$, entonces cada sitio es reflexivo y, por lo tanto, actúa como una caminata aleatoria en una red 3D con una probabilidad finita de no saltar dos pasos (un salto más un salto hacia atrás son lo mismo que simplemente esperar dos pasos de tiempo), y por lo tanto sigue siendo transitorio, a menos$p_c = 1$.

De hecho, esto parece ser un principio muy general (que no hay$p_c < 1$). Una forma de ver por qué esto debería ser cierto es considerar lo que sucede cuando el caminante entra en la región entre$d_i$y$d_{i+1}$. El caminante estará restringido a la región por más tiempo, pero esto evita que regrese al origen y que salte al siguiente nivel. Cuando$p$es extremadamente alto, esperamos que el caminante haya encontrado cada sitio dentro de la región aproximadamente la misma cantidad de veces antes de que finalmente logre salir de la región. En este caso, la probabilidad de transición viene dada por la relación de las áreas superficiales de las dos superficies reflectantes relevantes y, por lo tanto, su probabilidad de saltar a la región entre$d_{i+1}$y$d_{i+2}$es linealmente mayor que la probabilidad de volver a saltar a la región más cercana al origen. Esta es exactamente la misma probabilidad que obtenemos cuando consideramos que el caminante comienza desde una posición aleatoria dentro de esa región cuando$p=0$. Por lo tanto, el término de reflexión solo aumenta la cantidad de tiempo que se pasa en una región, no la probabilidad de regresar a ella. Al aumentar el tiempo de permanencia en una región es constante para fijos$p \neq 1$, el andar sigue siendo transitorio.

Por lo tanto, creo que no hay elección de$d$tal que$p_c < 1$. Por el contrario si$p=1$entonces el andar no es transitorio a menos que$d$esta vacio. Por último, si$d$está vacío, entonces no hay$p_c$.

Su caminata siempre es transitoria cuando usa la condición simétrica de reflexión en ambas direcciones, y el argumento se da esencialmente en la respuesta anterior. Pero cuando la condición de reflexión es asimétrica , de modo que tiene reflexión solo cuando está saliendo, un número infinito de reflectores dará un comportamiento recurrente para una probabilidad de reflexión arbitrariamente pequeña en el espacio euclidiano (EDICIÓN POSTERIOR: siempre que el$R_k$no crezca exponencialmente rápido --- en este caso, puede tener una transición --- también tiene una buena transición en el gráfico de Cayley).

Criterio electrostático de recurrencia

La recurrencia/no recurrencia de una caminata aleatoria es un problema independiente del tiempo y se puede resolver encontrando una solución de estado estacionario. Esto tiene un análogo electrostático simple, vea esta respuesta: Tiempo de colisión de partículas brownianas

El principio básico es el siguiente: considere una esfera pequeña y una esfera grande que absorben partículas brownianas. Inyecte partículas en una posición aleatoria en una esfera de radio unitario y pregunte cuál es la probabilidad de que sean absorbidas por la esfera grande en lugar de por la pequeña. La recurrencia es cuando la esfera pequeña siempre absorbe primero, en el límite de una esfera grande infinita.

En estado estacionario, la densidad de partículas obedece a la ecuación de Laplace con la condición de contorno de que la función potencial es cero en la esfera interior pequeña y en la esfera exterior, con una curvatura en la esfera unitaria que representa el flujo entrante de partículas inyectadas.

El flujo de partículas que se absorbe primero en el infinito está dado por el gradiente de potencial integrado (el flujo eléctrico) a grandes distancias, y el flujo que primero es absorbido por la esfera pequeña está dado por el gradiente de potencial a distancias pequeñas. (el flujo eléctrico a pequeñas distancias). El flujo está normalizado por los valores del potencial electrostático en el radio pequeño y grande (porque el potencial tiene que desaparecer en estas dos esferas, porque están absorbiendo).

El resultado de esto es que la caminata es recurrente si y solo si el potencial de una pequeña esfera es divergente en el infinito (Edición posterior: esto es cierto para redes homogéneas --- ver más abajo). Esto es cierto en 1d, donde es linealmente divergente, y en 2d, donde es logarítmicamente divergente, pero falla en 3d y superiores, donde se aproxima a un límite asintótico constante a largas distancias. El límite constante hace que el flujo en el infinito no sea cero, porque la normalización a partir de la condición límite del metal de potencial cero no es infinita.

Reflectores unidireccionales

Cuando agrega reflectores bidireccionales, la distribución de estado estacionario no cambia, porque si tiene un plano reflectante infinitesimalmente delgado, para que haya cero flujo a través de él, la densidad de caminantes a la izquierda y a la derecha del plano tiene que ser igual. Esto significa que el plano no cambia el flujo y no hay diferencia con el caso sin reflector. La caminata sigue siendo transitoria con reflectores bidireccionales (este es el contenido de la respuesta anterior).

Sin embargo, cuando tiene un reflector unidireccional , la condición es diferente. Ahora, la densidad en el interior tiene que ser mayor justo en el reflector en una proporción de (1/1-p) en comparación con el exterior para permitir que el flujo a través del plano se equilibre. Llame a la pequeña proporción$A_p = 1-p$.

Para tener un flujo cero al infinito en estado estacionario, la distribución de partículas con una fuente unitaria debe tener una derivada r cero lejos de los saltos en los reflectores. Esto significa que toda la caída de densidad debe ocurrir en los saltos, y la condición de que la esfera en el infinito tenga un potencial cero da la restricción:

$$\prod_k A_{p_k} = \prod (1 - p_k) = 0$$

Cuando este producto infinito es cero el paseo es recurrente. Cuando no es cero, el paseo es transitorio.

EDITAR: ¡O eso pensé! La última ecuación obviamente es completamente incorrecta, como lo señaló Peter Shor, y secundada por votantes negativos anónimos. Gracias por detectar el error al que estaba ciego.

No hay nada de malo con el método anterior, es solo que la asintótica a potencial cero a grandes distancias no garantiza que un flujo infinitesimal llegue a cero en un tiempo finito (esto fue contrario a la intuición para mí). Si realiza una asíntota a cero con la suficiente lentitud, aún puede tener un flujo distinto de cero en radios grandes sin llegar nunca a cero.

La condición correcta en el conductor grande es que debe tener flujo cero a través de él cuando es muy grande. Para tasas de crecimiento normales, para obtener flujo cero, todo lo que necesita es el potencial para ir a cero. Pero para un crecimiento exponencialmente rápido$R_k$, para poner a cero el potencial en una esfera grande, aún puede requerir un flujo distinto de cero incluso si la esfera comienza con un potencial infinitesimal, solo porque es enormemente enorme (gracias nuevamente a Peter Shor por descubrir este estúpido error --- no requiere una modificación al método, solo al análisis defectuoso al final).

Entonces uno pregunta, dado que hay un flujo hacia afuera$q$, ¿cuál es el radio de la esfera en la que el potencial es primero cero? Si no hay tal radio para lo suficientemente pequeño$q$(se permite asíntota a cero, siempre y cuando nunca lo alcance --- este fue mi error de antes) entonces la caminata aleatoria es recurrente.

El flujo hacia afuera es la carga eléctrica, por lo que la solución que sale es de la forma

$$\phi(r) = {q\over r} + A$$

A$R_1$, es atenuado por$a_1 = 1-p_1$, de modo que

$$\phi(R_1) = a_1 ( {q\over r} + A)$$

Continúa para r más grande con el mismo q, pero comenzando en la altura atenuada, de modo que la solución para$r>R_1$es:

$$\phi(r) = ({q_1\over r} + A')$$

Donde la constante A' viene dada por

$$A' = a_1 A + (1-a_1) (- {q\over R_1})$$

es decir, es el promedio ponderado del valor anterior de A con el valor negativo entre paréntesis, con peso dado por$a_1$. La q se puede factorizar si redefines A multiplicativamente para absorberla. El valor de A después de cada una de las transiciones viene dado por un promedio ponderado similar

$$A_{n+1} = a_n A_n + (1-a_n) ( - {1\over R_n} )$$

Esta ecuación de diferencia lineal se puede resolver por métodos estándar, en particular definiendo

$$A_n = B_n \prod_{k=0}^n a_k$$

Después

$$B_{n+1} - B_n = { (1-a_n)\over \prod_{k=0}^n a_k } ( - {1\over R_n} )$$

Y la condición de que A se vuelva negativa después de un número finito de pasos para q arbitrariamente pequeña le dice que la serie anterior es divergente:

$$\sum_{n=1}^\infty {(1-a_n) \over \prod_{k=0}^n a_k } {1\over R_n} = \infty$$

La divergencia de esta serie es la condición para la recurrencia. En el caso especial de constante$a_k = 1-p$, entonces la serie tiene términos

$${p\over (1-p)^n} {1\over R_n}$$

Que es una exponencial divergente a menos que R_n crezca más rápido que$1\over (1-p)^n$. Así que para crecer exponencialmente$R_n$, obtienes una transición de fase no trivial, al contrario de lo que escribí inicialmente.

MÁS DE LA EDICIÓN POSTERIOR: Cayley Graph

En el gráfico de Cayley (árbol binario infinito), en lugar de 3 espacios, el problema tiene una transición de fase en p, porque al hacer que cada radio sea unidireccional y ajustar p, puede hacer que la caminata radial sea imparcial después de un camino -reparametrización dependiente del tiempo. Hay un flujo constante hacia afuera con una probabilidad de 2/3, pero si p es 1/2, entonces la mitad de los 2/3 salientes regresan al siguiente paso, de modo que obtienes una probabilidad de 1/3 de ir hacia adentro, un 1/3 de probabilidad de ir hacia afuera y 1/3 de probabilidad de regresar después de dos pasos, que es una difusión imparcial estándar después de fusionar los dos pasos en el camino de regreso en uno.

Así que para p<1/2 tienes transitoriedad, y para p>1/2 tienes recurrencia, y el límite está exactamente en p=1/2. El ejemplo del gráfico de Cayley muestra la fuerza aproximada de los reflectores constantes: contrarrestan el crecimiento exponencial.

Además, la distribución de estado estacionario en el gráfico de Cayley se puede analizar fusionando todos los vértices a la distancia r desde el origen en un vértice grande, en cuyo caso la distribución de estado estacionario en flujo cero tiene un crecimiento exponencial, o no fusionando, en cuyo caso, la distribución de estado estacionario en flujo cero es constante en todos los vértices. Las dos descripciones diferentes muestran claramente que la condición de flujo cero en el infinito no es solo que la distribución de estado estable decaiga a cero.