Derivar la distribución de Poisson a partir de la probabilidad por tiempo del evento

Distribución de probabilidad del tiempo hasta el próximo evento

Primero calculamos la densidad de probabilidad de que un tiempo$t$pasa sin que suceda ningún evento. Dividir$t$dentro$N$pequeños intervalos cada uno de longitud$dt = t/N$. Definición$\lambda$como la probabilidad por tiempo de que ocurra el evento, la probabilidad de que no ocurra ningún evento dentro de cualquier intervalo de tiempo corto es aproximadamente$(1 - \lambda dt)$. Por lo tanto, la probabilidad de que no ocurra ningún evento en ninguno de los intervalos, pero luego ocurra dentro de un intervalo de longitud$dt$justo al final de todos los intervalos es

$$\left( \prod_{i=1}^N \left( 1 - \lambda dt \right) \right) \lambda dt = \left( 1 - \frac{\lambda t}{N} \right)^N \lambda dt \stackrel{N\rightarrow \infty}{=} \lambda dt \exp \left( - \lambda t \right) \, .$$ En otras palabras, dada una hora de inicio$0$, la densidad de probabilidad de que ningún evento haya ocurrido después de un tiempo$t$, pero luego sucede justo en$t$es$\lambda \exp(-\lambda t)$.

Probabilidad de múltiples eventos

Ahora preguntamos la probabilidad de que obtengamos$n$eventos en el intervalo de tiempo$T$. Supongamos que el primer evento ocurre en$t_1$, el segundo incluso sucede en$t_2$, etc. Tenemos por tanto una serie de intervalos

$$\{[0, t_1], [t_1, t_2], \ldots [t_n, T] \}$$ con eventos que suceden al final de cada intervalo. La probabilidad de que nuestros eventos ocurran de esta manera es $$P(t_1, t_2, \ldots t_n) = \lambda \exp(-\lambda t_1) \lambda \exp(-\lambda (t_2 - t_1)) \cdots \lambda \exp(-\lambda(T - t_n)) = \lambda^n \exp(-\lambda T) \, .$$ Por supuesto, cualquier disposición de$\{t_1, t_2, \ldots t_n \}$tal que$t_1 < t_2 < \ldots < t_n$cuenta como un$n$-disposición de eventos, por lo que tenemos que sumar las probabilidades de todas estas posibles disposiciones, es decir, la probabilidad de$n$eventos es $$\begin{align} P(n \text{ events}) &= \int_0^T dt_1 \int_{t_1}^T dt_2 \cdots \int_{t_{n-1}}^T dt_n P(t_1, t_2, \ldots t_n) \\ &= \lambda^n \exp(-\lambda T) \int_0^T dt_1 \int_{t_1}^T dt_2 \cdots \int_{t_{n-1}}^T dt_n \, . \end{align}$$ La integral múltiple es el volumen de un símplex recto y tiene valor$T^n/n!$, por lo que el resultado final es $$P(n\text{ events}) = \frac{(\lambda T)^n \exp(-\lambda T)}{n!}$$ que es la distribución de Poisson con media$\lambda T$.

Relacionado

• Evaluación directa de la integral de volumen símplex
• Cálculo explícito para$n\in\{0, 1, 2\}$

La distribución de Poisson describe la probabilidad de un cierto número ($n$) de eventos improbables ($p\ll 1$) sucediendo dado$N$oportunidades.

Esto es como hacer un lanzamiento de moneda muy injusto.$N$veces, con la probabilidad$p$de la moneda que sale cara. El número de cabezas seguiría la distribución binomial:

$$P(n|p,N) = ~^{N}C_n~p^n (1-p)^{N-n} =\frac{N!}{(N-n)!~n!} p^n (1-p)^{N-n}$$

Ahora falta probar que cuando$N\rightarrow \infty$y$p\rightarrow 0$tiempo$Np\rightarrow \lambda T$, que lo anterior converge al resultado conocido. En esencia, sostengo que cuando haces que el número de oportunidades tienda al infinito, pasas de un enfoque discreto a uno continuo; pero siempre que tenga cuidado con sus infinitos, el resultado aún debería ser válido.

Primero, encontramos una aproximación para$(1-p)^{N-n}$. Tomando el registro, obtenemos

$$\log\left((1-p)^{N-n}\right) = (N-n)\log(1-p)\approx (N-n)\cdot (-p)$$

Ya que$N\gg n$, obtenemos$(1-p)^{N-n}\approx e^{-Np}$

A continuación, aproximamos el$~^N C_n$término usando la aproximación de Stirling que$\log N! \approx N\log N - N$y notando que$n\ll N$

Después

$$\begin{align} \log\left(\frac{N!}{(N-n)!}\right) &= N\log N - N - (N-n)\log(N-n) + (N-n) \\ &=N\log N - (N-n)\log(N-n) - n\\ &= N \log N -(N-n)\left(\log(N)+\log\left(1-\frac{n}{N}\right)\right) - n\\ &\approx N\log N -(N-n)\left(\log(N)-\frac{n}{N}\right) - n\\ &\approx n\log N + n -n \log n - n\\ &=n\log(N-n)\end{align}$$

Resulta que$\frac{N!}{(N-n)! n!} \approx \frac{N^n}{n!}$

Finalmente, notamos que$pN = \lambda T$, y obtenemos

$$P(n|N,p) = \frac{N^n p^n e^{-Np}}{n!}$$

esto se reorganiza fácilmente para

$$P(n) = \frac{(\lambda T)^n e^{-\lambda T}}{n!}$$

Cuál es el resultado que nos propusimos demostrar.

Hice uso de este artículo para recordarme algunos de los pasos en esto.

Dejar$A^n_t$ser el evento: exactamente$n$eventos puntuales ocurrieron durante un intervalo de tiempo$t$. Luego, por pequeños$\Delta t$

$$\begin{align}P(A^n_{t+\Delta t}) &= P( A^n_t \cap A^0_{\Delta t }) + P(A^{n-1}_t \cap A^1_{\Delta t }) \\ &= P(A^n_t) P (A^0_{\Delta t }) + P(A^{n-1}_t )P( A^1_{\Delta t })\\ \end{align}$$ donde hemos utilizado la independencia de ocurrencia. Ahora, definiendo$p_n(t) \equiv P( A^n_t)$y$\lambda = \lim_{\Delta t\to 0} p_1(\Delta t)/\Delta t$, y tomando el límite para$\Delta t \to 0$obtenemos

$$p_n(t+\delta t)=p_n(t)(1 - \lambda \, \delta t) + p_{n-1}(t) \lambda \, \delta t$$

lo que conduce a las ecuaciones diferenciales:

$$p'_n(t)= \begin{cases} -\lambda ( p_n(t) - p_{n-1}(t) ) & n>0\\ -\lambda p_n(t) & n=0 \end{cases}$$

con las condiciones iniciales

$$p_n(0)=\begin{cases}0 & n>0\\1 & n=0 \, .\end{cases}$$

La solución viene dada por la distribución de Poisson:

$$p_n(t)=\frac{(\lambda t)^n \exp(-\lambda t)}{n!} \, .$$