¿Cuál es la forma correcta de modelar la difusión en medios no homogéneos (ley de Fokker-Planck o Fick) y por qué?

Estoy bastante confundido con el siguiente problema. Normalmente, una ecuación de Fokker-Planck unidimensional se escribe de la siguiente forma:

∂ ψ ∂ t = − ∂ ∂ X ( F ψ ) + ∂ 2 ∂ X 2 ( D ψ )

Mientras que la ecuación tradicional de convección-difusión sin fuentes tiene la forma:

∂ ψ ∂ t = − ∂ ∂ X ( F ψ ) + ∂ ∂ X ( D ∂ ψ ∂ X )

Considerando la difusión no constante D = D ( X , t ) estas ecuaciones difieren significativamente, lo que parece sorprendente, porque deberían ajustarse indistintamente a los mismos problemas (por ejemplo, aquí ). ¿Hay alguna razón profunda/explicación física para tal diferencia?

O más directamente: se supone que ambas ecuaciones describen la evolución de ψ con dado F ( X , t ) y D ( X , t ) . Supongamos que tengo mi distribución de algo ψ y los coeficientes correspondientes, ¿cómo puedo decidir qué forma de ecuación debo usar?

PD: cuando uno escribe una ecuación de Langevin para el movimiento browniano con difusión no constante, aparece el llamado término de deriva inducida por ruido y la ecuación de Fokker-Planck correspondiente tiene una forma de ecuación de convección-difusión a la que me referí anteriormente ... lo que significa esa ecuación FP "clásica" es adecuada solo para la difusión constante, lo cual es totalmente incorrecto ... finalmente me perdí por completo.

∂ X 2 ( D ψ ) ≠ ∂ X ( D ∂ X ψ ) para D ≠ constante , por lo que no debería sorprender en absoluto que difieran (cf. esta respuesta mía )
@KyleKanos Según tengo entendido, ambas ecuaciones deberían ser iguales, ya que puede usarlas para los mismos problemas (ambas son ecuaciones de FP o viceversa), pero difieren, normalmente se escriben de manera diferente FP y ecuaciones de difusión por convección. No entiendo qué física hay detrás de esa diferencia.
Solo puede usar ambos para el mismo problema proporcionado D = constante en ambos casos. Si D ≠ constante , entonces claramente no son lo mismo y no se pueden usar para los mismos problemas. La física es que el coeficiente de difusión ahora depende espacialmente, por lo que ∂ X D ≠ 0 ; aparte de eso, no estoy seguro de cuál es realmente la pregunta aquí.
@KyleKanos Ok, digámoslo de esta manera. Se supone que ambas ecuaciones describen la evolución de ψ con dado F ( X , t ) y D ( X , t ) . Supongamos que tengo mi distribución de algo ψ y los coeficientes correspondientes, ¿cómo puedo decidir qué forma de ecuación debo usar?
Esta es una buena pregunta, aunque formulada de manera diferente, puede obtener una mejor respuesta; "¿Es correcto usar la ley de Fokker-Planck o Fick para modelar la difusión en medios no homogéneos". La respuesta no es inmediatamente obvia para mí, aunque intuitivamente preferiría la primera como punto de partida natural sobre la base de que se deriva (de la ecuación maestra) y la segunda es una ecuación empírica, que tal vez puedas derivar de la primera. con una aproximación adicional (las formulaciones solo están desfasadas por un término).
No sé la respuesta completa y espero que la encuentres. Una cosa es que podría estar equivocado, pero creo que si la causa de D que varía espacialmente es un gradiente de temperatura, obtiene una respuesta diferente que si la causa de D que varía espacialmente son las propiedades del material, etc. (Cuando un sistema es fluctuando aleatoriamente en un gradiente de temperatura, creo que tiende a moverse hacia una temperatura más baja, incluso si el potencial químico es constante. Busque explicaciones microscópicas del efecto Seebeck para obtener una explicación; explicación microscópica cualitativamente similar a la fuerza ponderomotriz).

Respuestas (2)

Es una pregunta difícil y, como dice van Kampen, "no existe una forma universal de la ecuación de difusión, pero cada sistema debe estudiarse individualmente". https://link.springer.com/article/10.1007/BF01304217 (Desafortunadamente, no tengo acceso completo a su artículo, pero es posible que pueda obtenerlo a través de su biblioteca).

Ahora, la razón principal por la que la pregunta es difícil es que expone una ambigüedad en la descripción de Langevin. En el artículo de Wikipedia al que se vincula, dice que un proceso de Itô cuya ecuación de Langevin dice

d X t = m ( X t , t ) d t + σ ( X t , t ) d W t ,
entonces la respectiva ecuación de Fokker-Planck es
∂ pag ∂ t = − ∂ [ m pag ] ∂ X + 1 2 ∂ 2 [ σ 2 pag ] ∂ X 2
dónde σ 2 / 2 = D .

Nótese que distinguieron que es un proceso Itô . Si hubiera sido un proceso de Stratonovich, es decir

d X t = m ( X t , t ) d t + σ ( X t , t ) ∘ d W t ,
la ecuación de Fokker-Planck sería
∂ pag ∂ t = − ∂ [ m pag ] ∂ X + 1 2 ∂ ∂ X [ σ ∂ ∂ X ( σ pag ) ] .
Entonces, ¿ahora hay dos ecuaciones de Fokker-Planck diferentes además de la segunda ley de Fick? ¿Lo que da?

El tema es que cuando escribes el proceso de Langevin, teniendo σ tienen una dependencia espacial hace que el término de ruido tenga una influencia no lineal en la posición. En la imagen de Ito, el ruido se trata como si estuviera pateando la partícula browniana al comienzo de cada intervalo de tiempo. Δ t . En la convención de Stratanovich, el ruido se promedia entre los extremos del intervalo de tiempo. Dependiendo de si integras usando la convención de Stratanovich o la de Ito, obtienes resultados diferentes. También hay otra convención llamada convención isotérmica, y esto da una ecuación de Fokker-Planck que se parece un poco más a la Ley de Fick. Aquí hay algunas referencias, a las que debería poder acceder: http://www.bgu.ac.il/~ofarago/shakedthesis.pdf y https://arxiv.org/pdf/1402.4598.pdf

¡Salud!

Muchas gracias, gran respuesta! Y gracias por las referencias también. De alguna manera siempre consideré ambas convenciones totalmente equivalentes. Pero aún así es más bien una razón técnica. Si dos formalismos conducen a dos realidades diferentes, cabría esperar alguna característica fundamental del proceso, que indique cómo debe tratarse entonces. Al revisar algunos documentos después de su respuesta, encontré una conclusión divertida, en resumen, "Ito es matemáticamente correcto, mientras que Stratonovich describe lo que realmente sucede en la naturaleza".

Para completar y para referencia futura, deseo agregar un poco a la respuesta de @AlbertB, en particular para agregar las siguientes referencias:

En resumen, el modelado de un proceso aleatorio generalmente comienza con la escritura de ecuaciones de Langevin apropiadas que describen la dinámica microscópica local. Estas ecuaciones incluyen variables estocásticas (aleatorias), y se resuelven por realización particular del ruido. Cuando el término de ruido es multiplicativo (dependiente del estado), es decir, la magnitud del término de ruido está relacionada con el estado del sistema, la solución requiere lo que se denomina una interpretación. Diferentes interpretaciones tienen diferentes significados físicos, que se manifiestan en diferentes sistemas físicos, y por lo general tienen soluciones muy diferentes. Las interpretaciones más populares son Ito, Stratanovich y Hanggi-Klimontovich. Siguiendo un procedimiento que promedia el ruido sobre las trayectorias y genera una ecuación de Fokker-Planck adecuada para la ecuación de Langevin especificada, diferentes interpretaciones dan como resultado diferentes ecuaciones de Fokker-Planck. Referencia1 incluye las versiones adecuadas de las ecuaciones de Langevin y sus ecuaciones de Fokker-Planck adecuadas para las tres interpretaciones populares. La Referencia 2 compara tres sistemas físicos que requieren diferentes interpretaciones para tener sentido.

¡Muchas gracias por la aclaración y los excelentes artículos!
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