El paseo aleatorio en las conferencias de física de Feynman [duplicado]

Las distancias en la caminata aleatoria son unidades positivas o negativas.

En el cálculo de la distancia, D norte viajó después norte pasos, el autor utiliza D norte 2 en lugar de D norte . De las conferencias de Feynman sobre física, parte 1 ,

El valor esperado de D norte 2 para norte > 1 se puede obtener de D norte − 1 . si, después ( norte − 1 ) pasos, tenemos D norte − 1 , a continuación, después norte pasos que tenemos D norte = D norte − 1 + 1 o D norte = D norte − 1 − 1 . Para los cuadrados,

D norte 2 = { D norte − 1 2 + 2 D norte − 1 + 1 o r D norte − 1 2 − 2 D norte − 1 + 1
En varias secuencias independientes, esperamos obtener cada valor la mitad del tiempo, por lo que nuestra expectativa promedio es solo el promedio de los dos valores posibles. El valor esperado de D norte 2 es entonces D norte − 1 2 + 1 . En general, debemos esperar para D norte − 1 2 su “valor esperado” ⟨ D norte − 1 2 ⟩ (¡por definición!). Entonces
⟨ D norte 2 ⟩ = ⟨ D norte − 1 2 ⟩ + 1
Ya hemos demostrado que ⟨ D 1 2 ⟩ = 1 ; se sigue entonces que
⟨ D norte 2 ⟩ = norte

si tomo

D norte = { D norte − 1 − 1 , o r D norte − 1 + 1.

y luego promediar ambos para obtener ⟨ D norte ⟩ = ⟨ D norte − 1 ⟩ . Así que esto da como resultado ⟨ D norte ⟩ = + 1 o − 1 (porque D 1 = + 1 o − 1 ) en contraposición a lo dado norte .

¿En qué parte de mi idea me equivoqué?

Tenga en cuenta que se desaconseja encarecidamente el uso de imágenes para citar texto y matemáticas en Physics SE. Utilice una combinación de texto y Mathjax , que es el estándar del sitio para expresiones matemáticas.
Hay una respuesta en la publicación vinculada que aborda el problema de la caminata aleatoria, al encontrar el promedio de norte vectores unitarios con ángulo aleatorio.
@StephenG No soy un gran fanático de las imágenes, ya que las imágenes pueden hacer que una pregunta o respuesta sea inaccesible. Esto es particularmente cierto para las imágenes tomadas. Así que lo arreglé.
@VincentThacker Relacionado pero no duplicado.
@Vincent Thacker Descubrí que en realidad es similar a lo que sabía. No pude encontrar dónde me equivoqué a primera vista. Después de leer la respuesta de Philip a esta pregunta y luego ir allí, me llamó la atención.

Respuestas (1)

Hay algunos problemas con su análisis. En primer lugar, la cantidad ⟨ D norte ⟩ es el desplazamiento medio (desde el origen) en función de los pasos norte . Dado que es tan probable que el caminante aleatorio gire a la izquierda como a la derecha, debería ser intuitivo para usted que ⟨ D norte ⟩ = 0 , en vez de 1 , como usted afirma. Supongo que has entendido mal lo que significa "promedio" en este caso. Los promedios que se están tomando aquí son sobre muchas "realizaciones" diferentes. En otras palabras, repite el experimento del caminante aleatorio muchas veces, y cada vez mide el valor de una cantidad particular (digamos, q ). Luego promedia estas cantidades para obtener ⟨ q ⟩ .

Como usted bien ha señalado, al principio, D 1 = + 1 o − 1 con igual probabilidad. Como resultado, si repitiera el experimento muchas veces, la mitad de las veces el primer paso del andador sería hacia la izquierda (" − 1 "), y la otra mitad sería a la derecha (" + 1 "). Esto significa que

⟨ D 1 ⟩ = 0 ,
ya que ese es el valor "esperado". A partir de esto, debería poder ver que ⟨ D norte ⟩ = 0 .

La cantidad que el autor calcula, sin embargo, es más interesante: es la distancia media recorrida por el caminante aleatorio en norte pasos. Dado que esta cantidad es independiente de la dirección en la que se da cada paso, una forma de medirla sería tomando el cuadrado de la variable D norte y luego calcular la media, es decir ⟨ D norte 2 ⟩ . Luego podría sacar la raíz cuadrada de la cantidad resultante para obtener una respuesta con dimensiones de longitud. Esto se llama la distancia de la raíz cuadrada media.

En general, para cualquier variable distribuida aleatoriamente X ,

⟨ X ⟩ 2 ≠ ⟨ X 2 ⟩ .
(Puede verificar esto fácilmente eligiendo un grupo de números aleatorios negativos y calculando su media y la media de los cuadrados. ¡Uno será negativo y el otro positivo!)

Como resultado, ⟨ D norte ⟩ 2 ≠ ⟨ D norte 2 ⟩ , por lo que no hay contradicción.

Soy particularmente nuevo en hacer preguntas aquí. Pude obtener mi error solo después de leer esta respuesta y la pregunta similar sugerida tuvo algún sentido para mí solo después de leer esto. ¿Debería eliminar esta pregunta como me sugirió Stack Exchange?
Para ser justos, no creo que esta pregunta sea un duplicado. Estoy seguro de que hay alguna similitud con la pregunta vinculada, y en ese sentido está relacionada, pero eso es todo. Creo que muchas personas que llegan a esta pregunta porque tienen problemas similares no podrán obtener una respuesta con solo mirar este llamado "duplicado". Como resultado, le sugiero que no elimine esta pregunta. He votado para reabrirlo, quizás otros usuarios estén de acuerdo.
El paseo aleatorio en las conferencias de física de Feynman [duplicado]
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