¿Cuál es la energía más pequeña de un sistema de 2 electrones de espín 1/2?

Esta pregunta proviene directamente de "Conquering the Physics GRE" de Kahn y Anderson.

Dos electrones de espín-1/2 se colocan en un potencial de oscilador armónico unidimensional de frecuencia angular ω . Si una medida de S z del sistema vuelve ℏ , ¿cuál de las siguientes es la energía más pequeña posible del sistema?

(La respuesta es 2 ℏ ω .)

Hay una solución en el libro pero no puedo seguirla. ¿Puede alguien tomarse el tiempo para guiarme a través de esto?

Editar: solución de libro

Aquí está la solución del libro:

Total S z = ℏ significa que los electrones deben estar en el estado triplete, que es simétrico. Para una función de onda totalmente antisimétrica, la función de onda espacial debe ser antisimétrica. Esto elimina el estado fundamental, donde ambos electrones están en el norte = 0 estado del oscilador armónico, ya que después de la antisimetrización este se desvanece de forma idéntica. Entonces, el siguiente estado disponible es una versión antisimetrizada que tiene norte = 0 y norte = 1 :

ψ s pag a t i a yo = 1 2 ( | 0 ⟩ 1 | 1 ⟩ 2 − | 1 ⟩ 1 | 0 ⟩ 2 ) .
Este es un estado propio de energía con energía ℏ ω / 2 + 3 ℏ ω / 2 .

Mis preguntas actualizadas:

  1. ¿Por qué los estados necesitan ser antisimetrizados?
  2. ¿Cómo funciona la ecuación para ψ s pag a t i a yo dar la energía de ℏ ω / 2 + 3 ℏ ω / 2 ?

Espero que eso aclare mi pregunta.

Pon una foto de la página de la solución en tu publicación. No es garantía de que obtendrá una respuesta, pero podría señalar la línea que le causa el problema.
No creo que esta pregunta sea sobre el tema en su forma actual. En este momento es una pregunta de "muéstrame cómo responder esto" o "verifica mi trabajo". Creo que puede enfocarse en algo sobre el tema (y el problema al que se hace referencia es un lindo ejercicio que prueba dos ideas a la vez), pero debe señalarse la física que John no entiende.

Respuestas (2)

El hecho de que el giro del sistema sea la unidad significa que el sistema está en el "estado triplete". Del mismo modo, el espín neto del sistema es espín 1, puede ver siguiendo la prescripción estándar de "suma de momento angular" para dos mitades de partículas de espín que hay tres posibles estados de espín, todos los cuales son simétricos con respecto al intercambio de la fermiones.

ψ 1 = | + ⟩ | + ⟩ ψ 2 = | − ⟩ | − ⟩ ψ 3 = | + ⟩ | − ⟩ + | − ⟩ | + ⟩

Las estadísticas de fermiones requieren que el estado neto de un norte el sistema de fermiones sea antisimétrico bajo el intercambio de dos fermiones cualesquiera. Recuerde que los niveles de energía del oscilador armónico siguen

mi norte = ℏ ω ( norte + 1 2 )

Para el norte armónico. La forma específica de la función de onda no es importante, pero puede buscarla en wikipedia aquí . Lo importante es que cualquier estado del sistema se puede escribir como

ψ = ∑ i C i ψ i ( 1 ) ψ i ( 2 )
dónde C i es la amplitud para el estado y ψ i ( 1 , 2 ) son las funciones de onda de una partícula para la partícula 1 y 2 respectivamente (escritas en la "base propia" de algún operador con valores propios i , en este caso tomamos el hamiltoniano para que tengamos estados de energía definida).

Sabemos que podemos escribir ψ como el producto de la parte de espín y la parte espacial. De lo anterior, podemos concluir que la parte de giro del estado es simétrica, por lo tanto, la parte espacial debe ser antisimétrica . La función de onda espacial de energía más baja posible es entonces (sin tener en cuenta la normalización)

ψ espacial = ψ 0 ( 1 ) ψ 1 ( 2 ) − ψ 1 ( 1 ) ψ 0 ( 2 )

Aquí hemos puesto C i a 0 para todos i excepto esta combinación ya que cualquier otra combinación debe tener valores mayores para norte o no ser antisimétrica. Esta es la única forma de obtener una combinación antisimétrica de norte = 0 y norte = 1 , y ese es el nivel de energía más bajo desde que intenté escribir un estado antisimétrico con ambos norte = 0 causaría una cancelación y resultaría en ψ = 0 .

Entonces la energía total de tal estado es la suma de las energías de los estados individuales, a saber, mi neto = mi 0 + mi 1 , que te da la respuesta de mi = 2 ℏ ω .

Los fermiones no pueden estar en el mismo estado según el principio de exclusión de Pauli. Es por eso que dos electrones con espines iguales deberían ocupar dos niveles de energía diferentes. La combinación más baja es E0+E1

¿Cuál es la energía más pequeña de un sistema de 2 electrones de espín 1/2?
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