Ortogonalidad de las funciones de onda sumadas

Problema. Sé que las dos funciones de onda Ψ 1 y Ψ 2 son todos normalizados y ortogonales. Ahora quiero probar que esto implica que Ψ 3 = Ψ 1 + Ψ 2 es ortogonal a Ψ 4 = Ψ 1 − Ψ 2 .

Mi solución ingenua. De las premisas, sabemos que

∫ − ∞ ∞ Ψ 1 ∗ Ψ 1 d X = ∫ − ∞ ∞ Ψ 2 ∗ Ψ 2 d X = 1
y
∫ − ∞ ∞ Ψ 1 ∗ Ψ 2 d X = ∫ − ∞ ∞ Ψ 2 ∗ Ψ 1 d X = 0

También tenemos ( z 1 + z 2 ) ∗ = z 1 ∗ + z 2 ∗

∫ − ∞ ∞ Ψ 3 ∗ Ψ 4 d X = ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 + Ψ 2 ) ∗ ( Ψ 1 − Ψ 2 ) d X = ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 ∗ + Ψ 2 ∗ ) ( Ψ 1 − Ψ 2 ) d X = ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 ∗ Ψ 1 − Ψ 1 ∗ Ψ 2 + Ψ 2 ∗ Ψ 1 − Ψ 2 ∗ Ψ 2 ) d X = 1 − 0 + 0 − 1 = 0 ,

que es equivalente a lo que queríamos probar. ¿Es esta una prueba legítima? ¿Hay alguna forma más sencilla de hacer esto? Me temo que todavía no he entendido cómo se comportan matemáticamente las funciones de onda, por lo que es posible que me haya perdido algo muy obvio aquí.

Editar : el manual de soluciones de alguna manera usa factores de normalización para Ψ 3 y Ψ 4 . ¿Cómo son estos factores cuando en realidad no conoces las funciones exactas? ¿Y cómo se relaciona esto con el concepto de ortogonalidad?

Sí, necesita factores de normalización para que ∫ | Ψ 3 | 2 d X = 1 , pero su prueba tal como está es correcta. Calculó directamente su producto interno y descubrió que era cero, por lo tanto, vectores ortogonales.
La notación de frenos puede ser más simple, pero la tuya es lo suficientemente buena.
No entiendo por qué necesitaría ∫ | Ψ 3 | 2 d X = 1 . ¿Y cómo ayudaría la notación entre paréntesis?
Probablemente llegará a la notación Dirac/braket más adelante en su curso. Pero ayudaría al eliminar las integrales en este problema.
He visto la notación de corchetes un par de veces, y me imagino que aquí queremos mostrar que ⟨ Ψ 4 | Ψ 3 ⟩ = ⟨ Ψ 1 − Ψ 2 | Ψ 1 + Ψ 2 ⟩ = 0 , pero realmente no puedo ver cómo se supone que debo continuar sin usar la integral.
@PoetryInMotion: La suposición subyacente es que los símbolos "más ( + )" y "menos ( − )" que solías expresar Ψ 3 y Ψ 4 en términos de los estados de "base ortonormal" Ψ 1 y Ψ 2 representan de hecho las operaciones aritméticas correspondientes entre los valores de números complejos de los productos internos. Como consecuencia: ⟨ Ψ 1 − Ψ 2 | Ψ 1 + Ψ 2 ⟩ =(significa lo mismo que)= ⟨ Ψ 1 | Ψ 1 ⟩ + ⟨ Ψ 1 | Ψ 2 ⟩ − ⟨ Ψ 2 | Ψ 1 ⟩ − ⟨ Ψ 2 | Ψ 2 ⟩ que puede evaluarse más fácilmente (siendo 0 )

Respuestas (1)

Este problema podría resolverse de forma más sencilla mediante la aplicación del álgebra lineal. quieres demostrar que

⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 + ψ 2 ⟩ = 0

El producto interno es análogo al producto escalar del álgebra lineal y es distributivo. Distribuyendo encontramos que

⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 + ψ 2 ⟩ = ⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 ⟩ + ⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 2 ⟩ = ⟨ ψ 1 | ψ 1 ⟩ − ⟨ ψ 2 | ψ 1 ⟩ + ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ − ⟨ ψ 2 | ψ 2 ⟩

Porque ψ 1 y ψ 2 son ortogonales y normalizados, ya sabes ⟨ ψ i | ψ j ⟩ = d i j . Sustituyendo, la expresión anterior se evalúa como 1 − 0 + 0 − 1 = 0 , demostrando que los dos vectores son ortogonales.

Su enfoque, usando las integrales, también fue válido y fundamentalmente similar al mío aquí. Sin embargo, al notar que la relación que usó ( ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ψ 1 ∗ ψ 2 d X ) satisfizo la definición de un producto interior, las integrales pueden omitirse.

¡Eso tiene sentido! Sin embargo, todavía no entiendo qué tienen que ver los factores de normalización con la pregunta. Ambos Ψ 3 y Ψ 4 sucede tener el factor de normalización 1 / 2 , pero no puede tener nada que ver con su ortogonalidad, ¿verdad?
Sí, no estoy seguro de por qué necesitarías los factores de normalización aquí. esta claro que si ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ = 0 , entonces ⟨ k ψ 1 | ψ 2 ⟩ = k ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ = 0 .
@PoetryInMotion ¿Puede explicar el contexto en el que el manual de solución usó los factores de normalización?
Oh, lo siento, me perdí que se suponía que debía investigar la ortogonalidad de Ψ 3 y Ψ 4 y normalizar Ψ 3 y Ψ 4 . El explica por qué el manual de solución dejó de usar las constantes de normalización.
Está bien. Dado que encontraste correctamente el factor de normalización anterior, supongo que no necesitas ayuda con esa parte.
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