¿Cuál es la diferencia entre un número ordinal y un número cardinal?

Son dos enfoques diferentes para comprender la noción de infinito. (También se pueden usar para cantidades finitas, pero coinciden en ese caso, por lo que es un poco aburrido). También hay otros enfoques, pero tienden a ser conceptos derivados de al menos uno de cardinalidad u ordinalidad.

Estos dos conceptos son diferentes cuando se trata de colecciones infinitas, e ilustra por qué es importante considerar qué estructuras desea que se reconozcan como diferentes, para que esas diferencias se conserven a lo largo de su análisis, cuando desee considerar conceptos como infinito en matemáticas.

Sobre cardenales y ordinales

Los cardenales describen una noción de tamaño . Es decir: ¿ cuántos de algún tipo de objeto hay? En este sentido, los cardinales son una generalización de los números enteros: 0, 1, 2, etc. Son una forma apropiada de describir el tamaño de un conjunto. Como indica Mozibur, hacemos esto emparejando elementos del conjunto que deseamos medir, con otro conjunto. (Esto es exactamente lo que hacemos cuando contamos: cuando recitas "uno", "dos", "tres", "cuatro", etc., le estás dando a cada uno de los elementos que cuentas un nombre temporal, coincidiendo con un elemento con el nombre de un número para averiguar qué cardinal describe el tamaño del conjunto. Para conjuntos infinitos, también aplicamos esta idea de emparejar los elementos de un conjunto con los de un número cardinal).

Los ordinales describen una noción de secuencia: no solo tamaño, sino orden. Describen un tipo muy específico de ordenación, conocido como orden de pozo : cuya propiedad definitoria es que, para cualquier colección de elementos, se pueden ordenar estrictamente, siendo uno de ellos el primero. — Tenga en cuenta que esta propiedad no se cumple para todos los conjuntos ordenables: por ejemplo, no hay un número real más pequeño en el intervalo (0,1], o entre los enteros negativos {..., -3, -2, -1} ; pero los buenos órdenes son una forma muy natural de pensar en ordenar conjuntos discretos para muchas aplicaciones y tienden a apelar a la noción que tiene la gente de ordenar eventos, con causas y efectos.

Si ordena los números enteros finitos, lo que obtiene es un buen orden. Entonces, aquellos a quienes les gusta explorar los fundamentos de las matemáticas a través de la teoría de conjuntos, generalmente usan la misma construcción para construir tanto los ordinales finitos como los cardinales finitos. Es posible que vea a algunas personas describiendo los cardenales por 1, 2, 3, ... y distinguiéndolos de los ordinales escribiendo los ordinales como 1º ^, 2º ^, 3º ^, etc.; sin embargo, la construcción matemática habitual para ambos es definir

• 0 := ∅, ese es el conjunto vacío;

• 1 := {0} = {∅} = 0 ∪ {0};

• 2 := {0,1} = {∅,{∅}} = 1 ∪ {1};

• 3 := {0,1,2} = 2 ∪ {2};

Etcétera. Para todo ordinal α, definimos α+1 := α ∪ {α}. Donde los cardinales expresan el tamaño de un conjunto, como {a,b,c}, los ordinales describen el tipo de orden de una secuencia, como (a,b,c). Sin embargo, esto solo se vuelve importante cuando tienes secuencias infinitamente largas.

Sobre los primeros ordinales varios-infinitos

Para ilustrar cuál es el propósito de los ordinales en el estudio del infinito, primero tengo que presentarles algunos de ellos.

Ordenamos los ordinales diciendo que α < β si y solo si α ∈ β. Esto es importante cuando empezamos a hablar de ordinales infinitos. El primer ordinal infinito es el que resulta de considerar el conjunto de todos los ordinales finitos. Describe una secuencia de elementos bien ordenada, pero que no tiene un elemento final: (0,1,2,...). Llamamos a este ordinal ω. Luego definimos el siguiente ordinal más grande por ω+1 := ω ∪ {ω}, como antes: esto describe una ordenación (0,1,2,...,ω), donde hay un número infinito de elementos escondidos en las elipses, pero donde no hay "elemento que viene justo antes de ω"; cualquier colección consecutiva de elementos que contiene ω y algunos elementos que vienen antes debe tener infinitos elementos. Esto es solo el resultado de la forma en que se definió ω. Es lo que se conoce como ordinal límite: viene al final de una secuencia infinita de elementos que conducen a él, poniendo un límite encima de una subsecuencia infinita. Obtenemos otros ordinales límite apilando infinitos otros ordinales encima: tenemos ω+2 := (ω+1) ∪ {ω+1}, y podemos definir ω+3, ω+4 , etc. de la misma manera hasta que podamos definir

      2ω := {0,1,2,3...,ω,ω+1,ω+2,ω+3,...} = 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ ... ∪ ω ∪ (ω+1 ) ∪ (ω+2) ∪ ...

como la colección de todos los ordinales hasta ω, y luego obtenido de ω nuevamente por incrementos. Entonces podemos definir 2ω+1, 2ω+2, y así sucesivamente hasta 3ω; y así hasta el infinito. Luego obtenemos otro límite ordinal,

      ω ² := 0 ∪ ω ∪ 2ω ∪ 3ω ∪ 4ω ∪ ...

de manera similar a como se definen los ordinales límite ω, 2ω, etc. (Normalmente también incluiríamos 1, 2, 3, ω+1, ω+2, 2ω+1, etc. en la unión; pero estoy tratando de esbozar la construcción). Esto nos permitiría finalmente definir ordinales como ω ² +3ω+7 repitiendo el mismo proceso que antes para los ordinales 2ω, 3ω , etc.

Luego procedemos a definir 2ω ² como el límite de todos los ordinales obtenidos al sumar combinaciones de ω y números enteros finitos a ω ² ; y entonces podemos llegar a definir 3ω ² y 4ω ² ; y eventualmente podemos llegar a la idea de definir ω ³ como el límite de todos los ordinales que involucran combinaciones de ω ² , ω y números enteros finitos. Podemos ir definiendo ω ⁴ y ω ⁵ , hasta que finalmente, después de un número infinito de iteraciones, lleguemos a definir ω ^ω y ω ^ω+1 , ω ^ω+2, ω ^2ω , y el proceso realmente nunca se detiene.

Lo que todos estos ordinales están haciendo es capturar nociones de orden. Cada nuevo ordinal que definimos amplía los anteriores.

La razón por la que esto es importante es que no capturan ninguna diferencia de tamaño en absoluto: después de ω, todos los ordinales que les he descrito hasta ahora tienen exactamente la misma cantidad de elementos , cuando describimos el tamaño de un conjunto por cardinalidad. Los números ordinales claramente capturan mucha información sobre la estructura, ya que hay muchos ordinales límite que solo aparecen después de secuencias infinitamente largas de iteraciones sucesivas, por ejemplo, como 8ω ² +3ω viene solo después de la secuencia completa 8ω ² +2ω+1, 8ω ² +2ω+2, 8ω ²+2ω+3, ... pero si se permite considerar formas de hacer coincidir los elementos de una manera que no preserve el orden de los elementos, puede hacer coincidir los elementos de todos estos "polinomios" de ω entre sí .

• Por ejemplo, puede hacer coincidir ω = {0,1,2,...} con ω+1 = {0,1,2,...,ω} haciendo coincidir 0 ⇒ ω, 1 ⇒ 0, 2 ⇒ 1, y así sucesivamente.

• Puedes emparejar los elementos de ω ² con los de ω mediante la fórmula aω+b ⇒ a+(a+b)(a+b+1)/2.

Fórmulas más complicadas le permiten producir una coincidencia uno a uno de cualquiera de estos primeros ordinales infinitos con ω; pero al mismo tiempo dan una noción de tamaño en la que se siente como si fueran diferentes entre sí. Es decir, los ordinales proporcionan una noción de estructura adicional . Describen muchas formas diferentes en las que el mismo número de elementos se pueden poner en diferentes tipos de orden , descritos por la estructura de los límites dentro de ese orden: las formas en que infinitos tramos de incrementos se acumulan en un elemento que limita esos incrementos.

Lo que queremos decir con el tamaño depende de lo que queremos de la estructura

Los infinitos en matemáticas son una fuente notoria de resultados contrarios a la intuición. La razón por la que se debe a que nuestras intuiciones se basan en la estructura; y la cardinalidad, la noción más primitiva del "tamaño" de una colección, ignora muchas formas de estructura que consideramos importantes.

• Galileo se rebeló ante la idea de que el perímetro de un círculo más grande tuviera el mismo número de puntos que el de un círculo más pequeño . (También es quizás el primer europeo en señalar el hecho de que infinitos conjuntos de números enteros pueden ponerse en correspondencia biunívoca con subconjuntos propios ). Su objeción puede reducirse en última instancia al hecho de que estaba interesado en la medida ; donde los segmentos de línea tenían longitudes, y los elementos discretos en un conjunto agregaban un grado finito (pero no despreciable) al tamaño de un conjunto, mientras que las correspondencias uno a uno no preservan tales nociones de la medida del sistema o la aditividad de partes (La infame paradoja de Banach-Tarski es un ejemplo de tal resultado que surge de la falta de preservación de la medida de los subsistemas).

• La mayoría de las personas inicialmente se resisten a la idea de que hay tantos puntos en el plano como puntos en una línea. (La correspondencia biunívoca entre los números racionales y los enteros, o entre ω ² y ω como se describe arriba, es del mismo tipo.) Esto se debe a una noción intuitiva de dimensión ; el plano simplemente tiene más dimensiones que la línea, de modo que la línea no solo encaja en el plano, sino que lo hace infinitamente muchas veces . Este tipo de información geométrica, sin embargo, también es algo que una coincidencia uno a uno no tiene que respetar.

Esto demuestra que al considerar el infinito, así como muchos otros tipos de conceptos matemáticos, qué estructura considera importante , esa es la estructura que necesita para ser preservada por las transformaciones que desea considerar (como hacer coincidir un conjunto con otro ), determinará si dos objetos son o no equivalentes o distintos. Si le interesan conceptos como dimensión o medida , y exige que se conserven mediante cualquier función que considere, entonces nunca podrá llevar un segmento de línea corto a una correspondencia uno a uno con uno largo o con un cuadrado. Sin embargo, si permite arbitrariamentefunciones, que pueden ignorar por completo las nociones estructurales que amas, entonces puedes obtener resultados que encuentres sorprendentes, o incluso repugnantes para tu intuición. En última instancia, esto se debe a que existe un conflicto entre las ideas que desea considerar y la forma en que lo está considerando.

En realidad, la diferencia ya se puede ver para los números finitos, aunque realmente se manifiestan solo en los números infinitos.

Los cardenales se tratan de la pregunta "cuántos". Por ejemplo, hay diez atletas en la competencia. Los ordinales son sobre el orden. Está el ganador, luego está el segundo, luego el tercero, y así sucesivamente.

Ahora, para conjuntos finitos (como los diez atletas anteriores), esencialmente solo hay una forma de organizarlos (ignorando la selección de quién llega primero, etc.). Sin embargo, tan pronto como tengamos conjuntos infinitos, esto cambiará dramáticamente.

Considera los números naturales. Hay una cierta cantidad de ellos, que se llama ℵ ₀ (hablado "aleph 0"). Esta cantidad, por supuesto, no depende de cómo los organicemos.

Pero ahora hay muchas formas sustancialmente diferentes de organizarlos; de hecho, incluso más formas de estas que números naturales. Sin embargo, no todas las formas posibles de ordenarlos corresponden a un número ordinal; los números ordinales corresponden a los llamados bien-órdenes, es decir, órdenes donde de cualquier subconjunto todavía se puede decir cuál vino primero. Este no es el caso, por ejemplo, de los números enteros ordenados por tamaño; si miras los números negativos, no hay el primero, ya que siempre hay uno que lo precede.

Para los números naturales, el mejor orden más obvio es el orden habitual: puede decir fácilmente, por ejemplo, cuál es el primer número primo (2), el primer múltiplo común de 12 y 15 (0, que claramente viene antes de 60), el primer número que tiene tres dígitos en notación decimal (100), y así sucesivamente.

El orden de los números naturales se llama ω (hablado "omega").

Tenga en cuenta que este es el mismo tipo de orden que obtiene cuando, por ejemplo, intercambia cada número par con el siguiente número impar, es decir,

1, 0, 2, 1, 3, 2, …

Si bien el orden exacto es diferente, puede recuperar el original simplemente cambiando el nombre de los números individuales por el apropiado para su posición. Por lo tanto, este orden también se describe mediante el número ordinal ω.

Pero ahora considere el arreglo alternativo de los números naturales donde primero toma todos los números impares y luego todos los números pares. Es decir, su pedido ahora parece

1, 3, 5, 7, …, 0, 2, 4, 6, …

Esto es sustancialmente diferente del orden habitual: mientras que en el orden habitual, a partir de 0 puede llegar a cualquier número natural específico en un número finito de pasos, ahora esto solo es cierto para los números impares; para llegar a un número par, primero tiene que pasar los infinitos números pares, y luego, posiblemente, un número finito de pasos adicionales. Y no puede eliminar esa diferencia cambiando el nombre de los números; el hecho es que hay números que están precedidos por infinitos otros números.

Sin embargo, esto sigue siendo una buena orden. Todavía puede preguntar qué es, en este orden, sobre el primer número primo (3), el primer múltiplo común de 12 y 15 (todavía 0) y el primer número de tres dígitos (101).

Este orden se llama ω+ω (porque básicamente son dos copias del número natural puestas una al lado de la otra; el ordinal "+" básicamente significa concatenación).

Pero también puede simplemente mover un elemento a la derecha, por ejemplo, solo el 0, para obtener

1, 2, 3, 4, 5, …, 0

Es decir, tienes el orden de los números naturales, y luego uno extra; esto se describe mediante el número ordinal ω+1.

Y de hecho es de nuevo un buen orden, donde ahora el primer primo es 2, el primer múltiplo común de 12 y 15 es 60 (porque 0 viene mucho más tarde, en la posición ω-ésima), y el primer número de tres dígitos es 100.

Ahora puedes preguntar ¿qué es 1+ω? Bueno, solo pon el 0 a la izquierda del 1,2,3,..., en lugar de a la derecha. ¿Qué sacas? Bueno, ¡exactamente el orden habitual de los números naturales! De hecho, 1+ω = ω ≠ ω+1. Entonces tienes la propiedad inusual de que la suma de números ordinales no es conmutativa.

Tenga en cuenta que todos esos ejemplos usaron los números naturales, por lo tanto, todos tienen el mismo número de elementos, es decir, la misma cardinalidad.

La diferencia está entre hacer coincidir (cardinalidad) y ordenar (ordinales):

Se pueden hacer coincidir dos conjuntos como {a,b,c} y {A,B,C}. El orden alfabético no es importante. Aunque puede contar los elementos en cada conjunto, ambos tienen tres, esto no es lo que debe hacerse. Primero tome cualquier elemento del primer conjunto, diga 'b' y emparéjelo con uno del segundo conjunto, diga 'B'; Continúe haciendo esto hasta que cualquiera de los conjuntos esté vacío (o ambos). Si el primer conjunto está vacío antes que el segundo, entonces es más pequeño en cardinalidad, etc. En este sentido, hacer coincidir es más fundamental que contar . De hecho, el cardinal de estos dos conjuntos es 3. La razón por la que hacer coincidir es más importante que contar es que puede tratar con conjuntos infinitos.

Los ordinales se refieren a cómo se ordena un conjunto. Los dos conjuntos anteriores tienen el mismo orden alfabético y tienen un ordinal también llamado 3.

El conjunto {1,2,3,...} generalmente se llama omega minúscula griega, que llamaré w.

entonces {1,2,3,...;1,2}=w+2 y {1,2,3,...;1,2,3,...;1,2}=w+w +3=2w+3

Los cardenales están escasamente poblados entre los ordinales. Por ejemplo, hay muchos ordenamientos (ordinales) que se refieren a aleph-1, el primer cardinal incontable.