¿Existe una teoría de un conjunto verdadero?

De la descripción de la teoría de categorías en nlab:

La teoría de categorías es un enfoque estructural de las matemáticas que puede (a través de métodos como el ETCS de Lawvere) proporcionar los fundamentos de las matemáticas y (a través de la teoría algebraica de conjuntos) reproducir todas las diferentes teorías axiomáticas de conjuntos; no necesita el concepto de conjunto para ser formulado. La teoría de conjuntos es un enfoque analítico (elemento-sabio) y puede reproducir la teoría de categorías simplemente definiendo todos los conceptos de la manera habitual, siempre que se incluya una técnica para manejar categorías grandes (por ejemplo, usando clases en lugar de conjuntos, o incluyendo como axioma que existe un cardenal inaccesible e incontable o incluso que existen universos de Grothendieck).

Es decir, el enfoque estructural incluye lo analítico, y lo analítico incluye lo estructural. Una pequeña reflexión muestra que cada teoría incluye imágenes de sí misma y de la otra infinitamente, algo así como el conjunto de Mandelbrot se reproduce a sí mismo internamente.

Dado que ahora hay dos enfoques de los fundamentos, ¿es discutible que la 'verdadera' teoría de conjuntos sea algo que solo esté representado en los dos enfoques? De la misma manera decir que el número '9' se representa como nueve o 1001?

¿O es esto una indicación de que, de hecho, hay más de una Teoría de Conjuntos de la misma manera que negar el postulado paralelo en la geometría no euclidiana resultó en varias geometrías diferentes: elíptica y esférica con la geometría euclidiana ocupando un lugar especial porque es plana? .

Ciertamente hay un cuadro similar en la Teoría de los Topos como una categorización de la Teoría de Conjuntos (esto es diferente a lo discutido arriba) donde hay muchos Topos pero nuevamente la categoría de Conjuntos ocupa un lugar único (olvidé la caracterización de su unicidad).

Puede haber una única teoría de conjuntos verdaderos, pero tiene el problema de que no existe. Esto es similar al infinito, que a menudo tampoco existe.
Nunca he podido entender por qué la gente se tomó en serio el proyecto para determinar si, por ejemplo, la hipótesis del continuo es "realmente, realmente" cierta, dado que se ha demostrado independientemente de ZFC. Si a uno le importa ZFC y también CH, es obvio que hay más de una teoría de conjuntos. Quizás uno esté interesado entonces en explorar teorías de conjuntos alternativas , y eso está bien. Más interesante aún, quizás eventualmente la gente cambie de opinión sobre lo que debería calificar como una teoría de conjuntos. Pero hasta que eso suceda, no sé qué significaría que hubiera una teoría de un conjunto verdadero.
@NieldeBeaudrap "Si a uno le importa ZFC y también CH, es obvio que hay más de una teoría de conjuntos". Es obvio que hay más de una teoría de conjuntos, pero no es obvio que haya más de una teoría de conjuntos _verdadera_/correcta. Podría tomar el fracaso de ZFC para establecer (o refutar) CH como evidencia de que nuestra axiomatización de ZFC no está completa.
@Dennis: No estoy seguro de qué se supone que debo hacer con la palabra 'verdadero' aquí. ZFC+CH es (probablemente) consistente; de manera similar para ZFC-CH. ¿Por qué privilegiar uno sobre el otro, o tratar de encontrar un tercero que sea más "verdadero"? ¿Sobre qué base vamos a juzgar la "corrección" - observación empírica? Aparte de redefinir la teoría por completo, no es obvio que haya algún significado detrás de estas palabras. ¿Son los números enteros un grupo "más verdadero" o más "correcto" que el grupo de permutación en cinco elementos? Son simplemente diferentes modelos de grupos; ZFC que tiene múltiples modelos no es diferente en principio.
@NieldeBeaudrap Estoy contigo, en la medida en que creo que todas las teorías matemáticas consistentes son verdaderas (la coherencia es suficiente para la verdad en matemáticas). Esta pregunta, sin embargo, pregunta si hay una verdadera teoría de conjuntos en el sentido de si hay una verdadera lógica. La gente ha encontrado una manera de responder a la segunda pregunta, y Quine sostiene que se trata de una lógica de primer orden. Podrías (no sé por qué motivos, no comparto esta opinión) pensar que había algo en ZFC que lo privilegiaba. Quizá señalaría ciertas virtudes teóricas como la sencillez.
@ NieldeBeaudrap: No creo que haya una teoría de un conjunto verdadero por razones similares a las que ha descrito, así como las razones en la pregunta. Aunque admito que puede ser un factor motivador en la investigación. Joel Hamkins señaló en una respuesta en Math.Overflow que había un gran contingente de teóricos de conjuntos que sostienen este punto de vista. Pero qué quieren decir exactamente con esto, no estoy seguro. Parece tener algo que ver con la jerarquía del Gran Cardenal.
@Dennis: Yo diría que esos fueron valores estéticos (en lugar de teóricos) que privilegian a ZFC. Presumiblemente, hay otras colecciones de axiomas que tienen exactamente las mismas consecuencias teóricas que ZFC.
@MoziburUllah Eso es exactamente lo que siento por la simplicidad, es una virtud pragmática, no una virtud de seguimiento de la verdad. Si lees el artículo de Hamkin sobre el multiverso , lo verás hablar sobre estos otros teóricos que quieren privilegiar un conjunto teórico de universos en particular. Me atrae la opinión de que el multiverso es la distinguida teoría de los conjuntos. Se puede considerar como una especie de pluralismo sobre "qué teoría de conjuntos es la correcta ".
También puede consultar el artículo de dos partes de Penelope Maddy "Believing in the Axioms" ( parte 1 y parte 2 ). En estos artículos, ella da una serie de razones para creer en los axiomas (muchos de ellos se basan en comentarios que hizo Gödel).
Ugh, probablemente debería convertir todo esto en una respuesta. Trataré de hacer eso cuando termine de calificar los exámenes de los estudiantes.
@Dennis: Creo que hay más en la estética que en la pragmática, sin embargo, definitivamente hay un cruce.
@MoziburUllah Debería haber dicho que mi opinión es similar a la tuya. Sólo un poco de descuido.
@Dennis: ¿el 'universo' en el 'universo teórico de conjuntos privilegiados' es el 'multiverso' o te refieres a algo más específico en el artículo de Hamkins?
Desde perspectivas como math.berkeley.edu/~steel/talks/phila2010.pdf , existe un consenso creciente de que hay una buena razón para privilegiar una extensión de ZFC, "Ultimate L" de Woodin, como la versión más completa posible. Si ese es realmente el caso, entonces podemos converger en una verdadera teoría de conjuntos, o al menos en la mejor posible.
@MoziburUllah Lo siento, olvidé poner tu nombre en el último comentario.
¿Qué quiere decir con teoría de conjuntos "verdadera"?
@jjack: Ya expliqué lo que quiero decir con esto en la pregunta. No me apetece volver a hacerlo.
@jobermark: Interesante, me he encontrado con las ideas de Woodins antes, aunque, por supuesto, no en ningún detalle serio.

Respuestas (4)

¿O es esto una indicación de que, de hecho, hay más de una Teoría de Conjuntos de la misma manera que negar el postulado paralelo en la geometría no euclidiana resultó en varias geometrías diferentes: elíptica y esférica con la geometría euclidiana ocupando un lugar especial porque es plana?

Sí, algo así: se están estudiando muchas teorías de conjuntos, y cada una depende de lo que quieras que sea el "conjunto".

El problema con los conjuntos es que los usamos en muchos contextos diferentes. Entonces la pregunta es: ¿la teoría de conjuntos T dada es apropiada para el contexto dado? Lo que llamamos "set" en una ocasión puede no tener (casi) nada en común con el uso en otra ocasión. Ahora, las matemáticas se tratan de construir sistemas que son (con suerte) internamente consistentes, sin tener que tener un sentido externo o corresponder a ninguna parte real de la naturaleza (universo).

Pero como filósofos, podríamos preguntarnos: si esta cosa llamada conjunto aquí y esa cosa llamada conjunto allí tienen tanto en común (que contienen elementos y demás), ¿podrían ser la misma cosa? Si eres un platónico (o al menos un platónico matemático), entonces, por la navaja de Occam, parece razonable suponer que este "conjunto" es lo mismo. Puede haber algunos problemas al hablar de conjuntos (las lógicas que conocemos están llenas de problemas, como la incompletitud de la lógica de segundo orden, y todas nuestras teorías se basan en esas lógicas), pero la idea que mencionaste, que representa lo mismo a través de diferentes puntos de vista: viene a rescatar (diferentes puntos de vista dan diferentes ideas, tal vez a veces incluso "falsas", pero la esencia se refleja en todos los puntos de vista).

Personalmente, no soy platónico, y no creo que los conjuntos existan de ninguna forma independientemente de nosotros, y sí creo que en diferentes contextos, "conjunto" significa cosas diferentes, y creo que difícilmente puede haber alguna conexión entre esos usos.

Aquí tiene dos preguntas: una sobre la unicidad de la teoría de conjuntos y otra sobre los fundamentos de las matemáticas.

  • Hay una teoría de conjuntos ingenua . Elementos, uniones, conjuntos de potencias, infinitos y otras operaciones y muchos teoremas pequeños y grandes, casi exactamente lo que quieres de una teoría de conjuntos. Pero no resiste ni siquiera un pequeño escrutinio (la colección de conjuntos que no son miembros de sí mismos, ¿qué son estas cosas?). Y una vez que comienzas a axiomatizarlo, obtienes axiomas cuestionables (como el axioma de elección) y múltiples interpretaciones semánticas. La primera situación es, como notarás, algo así como que la geometría euclidiana es una de muchas cosas parecidas a la geometría. Tú eliges qué teoría quieres para que te ayude con las cosas de las que quieres hablar (desde la aritmética de segundo orden hasta el ultrafinitismo) .) eliminando o modificando cualquiera de los axiomas habituales para ZFC . Puede obtener un sistema razonable AF (Anti-Foundation) , que es ZFC con la negación del axioma de Foundation. Te hace poner cosas parecidas pero con algunas otras

  • en cuanto a los fundamentos, la Teoría de Conjuntos y la Teoría de Categorías no son el mismo tipo de fundamentos. La teoría de conjuntos es una base para la demostrabilidad para el alcance de las matemáticas, para saber cómo se puede reducir las pruebas en esas áreas a pruebas en la teoría de conjuntos para cualquier contenido en particular (teoría de grupos o geometría algebraica). La teoría de categorías, por otro lado, es una base para los conceptos, sobre cómo los conceptos en un área pueden (o no) parecerse a los de otra área. Puede 'hacer' la teoría de conjuntos en la teoría de categorías y viceversa, pero el punto es diferente en los diferentes sistemas.

Antes de axiomatizar, tiene la paradoja de Russel, por lo que tampoco hay una teoría de conjuntos ingenua, hay cero versiones consistentes de la teoría de conjuntos ingenua.
Obtiene suposiciones cuestionables y múltiples significados en la teoría de conjuntos ingenua, y paradojas además de eso. Las formas de Russell y Zermelo de resolver paradojas son tan diferentes que tiene más sentido decir que ya existen diferentes concepciones ingenuas de los conjuntos. Por ejemplo, uno platónico, donde los elementos se dan de antemano, y uno intensionalista, donde se pueden agregar indefinidamente según las reglas de formación. De hecho, la controversia del axioma de elección fue generada por ideas preconcebidas sobre lo que se supone que son los conjuntos, no por formalización, la prueba original de Zermelo era informal.

Dado que ahora hay dos enfoques de los fundamentos, ¿es discutible que la 'verdadera' teoría de conjuntos sea algo que solo esté representado en los dos enfoques? De la misma manera decir que el número '9' se representa como nueve o 1001?

Siguiendo con su ejemplo, entendemos fácilmente que diferentes representaciones de un objeto tienen diferentes propiedades. Por lo tanto, sus tres representaciones del "mismo objeto" usan respectivamente 1, 3 y 2 símbolos distintos.

Por supuesto, no desea mezclar el objeto y sus representaciones, pero cuando piensa en la "verdad de los fundamentos de las matemáticas " y el " isomorfismo entre diferentes sistemas de fundamentos", está manipulando representaciones. Y desea saber si las diferentes representaciones proporcionan un sistema de prueba equivalente. Es decir, si puede construir un objeto representativo de un objeto real en un sistema, también puede construir una representación del mismo objeto real en el otro sistema de representación, y todas las propiedades que le interesan y que puede inducir de uno representación, también se puede inducir a partir de la supuesta representación isomorfa.

Entonces su pregunta podría reformularse así:

  • ¿Podemos demostrar que todos los fundamentos de las matemáticas son isomorfos?
  • en caso afirmativo, ¿podemos llamar a esta estructura isomórfica una "teoría verdadera única"?

Para la primera pregunta, se puede documentar sobre los teoremas de incompletitud de Gödel que "se interpretan ampliamente, pero no universalmente, como que muestran [que encontrar] un conjunto completo y consistente de axiomas para todas las matemáticas es imposible".

Para el segundo, es cuestión del criterio personal que apliques para definir la verdad.

No pude proporcionar todos los enlaces relevantes que quería agregar, porque actualmente no tengo suficiente "crédito", pero aquí hay algunas palabras clave útiles que alguien interesado en esta pregunta debería buscar:

  • Inducción estructural
  • sistema de prueba
  • Consistencia
  • Lo completo
  • Solvencia
  • Teoremas de incompletitud de Gödel
Siento que no tiene en cuenta el tema principal de OP aquí, que involucra que una teoría se exprese dentro de otra. La pregunta principal de OP tiene el problema de hablar sobre la verdadera teoría de conjuntos , lo que, por ejemplo, implica que las declaraciones sobre conjuntos infinitos pueden ser verdaderas y esto solo es discutible. Entonces, a) la pregunta de OP podría no tener una respuesta, mientras que b) su interpretación puede responderse negativamente: dependiendo de las lógicas formales subyacentes de dos teorías de conjuntos (y hay más de una lógica), estas teorías no estarán de acuerdo con la verdad: incluso si son lo suficientemente fuertes como para expresar el otro cálculo lógico.
Llámelo metalógico si quiere, pero todas las lógicas tienen algún atributo común. Siempre se trata de explicitar premisas y reglas y cómo las combinas para llegar a alguna declaración.
¿Qué quieres decir? Las diferentes lógicas aún hacen que ciertas declaraciones sean verdaderas o no, por lo que hay una diferencia y no pueden ser isomorfas.
No quise dar "mi interpretación", sino señalar conceptos relevantes que el OP puede usar para alimentar su reflexión. La respuesta dependerá en gran medida del significado que se le dé a "verdadero". La lógica, cualquiera que elija, en el mejor de los casos dirá si una declaración es válida de acuerdo con la lógica elegida. Si la declaración es verdadera depende de si una declaración válida de esta lógica se considera una declaración verdadera.
Exactamente, y esta es la razón por la que dos teorías fundamentales, una basada en la lógica clásica y la otra en la lógica intuicionista, no son isomorfas: si bien ambas podrían decirte lo que dirá la otra teoría sobre una declaración dada, no lo hacen. t mismos están de acuerdo en ciertas declaraciones dadas, por lo que esto responde negativamente a su primera pregunta.

No, no existe una verdadera teoría de conjuntos (a excepción de las partes finitas). La característica más importante e interesante de la teoría de conjuntos es la existencia de conjuntos incontables. Pero esta existencia está en contradicción con los axiomas.

Se puede demostrar que todos los elementos definibles de conjuntos pertenecen a un conjunto contable. Por lo tanto, la mayoría de los elementos de conjuntos incontables son indefinibles. Por otro lado el axioma de extensionalidad de Zermelo dice: "Axioma 1: ... . O brevemente: Todo conjunto está determinado por sus elementos. (Axioma de determinabilidad)" Dado que los conjuntos incontables contienen elementos indefinibles, los conjuntos también son indefinibles, por lo tanto no distinguibles y no existentes.

Pero hay una contradicción aún más simple del infinito real requerido para la teoría de conjuntos. Se basa en un argumento aplicado con frecuencia en la teoría de conjuntos, ya por Cantor en su primera aplicación de la inducción transfinita:

"Si había excepciones, entonces una de ellas era la más pequeña, llámese a, tal que el teorema era válido para todo x < a pero no para x =< a, en contradicción con la demostración". [GRAMO. Cantor: "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre 2", Math. Annalen 49 (1897) págs. 207-246, § 18]

¿Por qué no aplicarlo al hecho de que ningún número natural es suficiente para hacer infinito el conjunto |N?

Teorema: La sucesión de números naturales no es en realidad infinita.

Demostración: Los números naturales 1, 2, ..., n no producen un conjunto realmente infinito. Si había números naturales capaces de producir un conjunto realmente infinito, entonces uno de ellos era el más pequeño, llámese a, tal que el teorema era válido para todo x < a pero no para x =< a. Contradicción.

Por supuesto, los números naturales son potencialmente infinitos. Esto no puede ser refutado. Con respecto a este hecho, pruebas como la presente serían hilarantes, y con frecuencia se las ha llamado así. Pero cuando los críticos fueran silenciados, entonces el significado del infinito cambiaría en silencio y sin ser notado de potencial a real. – Un procedimiento realmente pérfido.

Es por eso que los teóricos de conjuntos se niegan a entender la diferencia entre el infinito potencial y el real. Su procedimiento estándar se volvería obvio.

Hay muchas más contradicciones recogidas en el capítulo VI de https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf

¿Existe una teoría de un conjunto verdadero?
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