Fundamentos de lógica y razonamiento en lenguajes naturales

Mi intuición me dice que cualquier teoría, ya sea expresada usando matemáticas (y por lo tanto más precisa y estructurada) o argumentada usando lenguajes naturales tiene que involucrar una fe ciega en ciertas proposiciones (o declaraciones). En la ciencia (excepto las matemáticas) estas proposiciones aparecen como postulados, cuyo valor de verdad y validez se determinan mediante la observación del mundo natural. Pero esto se vuelve complicado cuando argumentas en matemáticas, donde estas proposiciones pueden no tener su validez basada en las observaciones del mundo natural. Tales declaraciones se convierten entonces en los axiomas de esa teoría. mi primera pregunta es

  1. ¿Se puede demostrar que toda teoría matemática tiene axiomas en los que se cree ciegamente como una necesidad?

Luego, cuando entramos en el reino del mundo interno de pensamientos y sentimientos para formar teorías lógicas de cómo conducirnos en el mundo, que es la tarea de la filosofía, uno no puede probar objetivamente la validez de muchas afirmaciones. Mi siguiente pregunta por lo tanto es

  1. ¿Se puede demostrar que las teorías filosóficas sobre cómo vivir mejor la vida también adoptan proposiciones que ciegamente se cree que son verdaderas?

No he podido encontrar respuestas a estas preguntas en ninguna parte en línea. ¿Podría responder y citar las fuentes para que pueda seguir leyendo?

"implicar fe ciega" es totalmente incorrecto ; asumimos algunos "principios" porque los necesitamos tanto en matemáticas como en ciencias naturales. Estos principios se asumen como verdaderos hasta que se "demuestra" que son falsos o se reemplazan por otros "mejores".
Toda teoría ética "razonable" (es decir, sobre "cómo vivir mejor la vida") necesita necesariamente algún "principio" asumido como verdadero, evidente, etc. Obviamente, el filósofo intentará argumentar a favor de ella, pero no podemos demostrarlo todo .
Dejando de lado la semántica, ya sea que los llame principios o axiomas, no puede justificar por qué les asigna el valor de verdad que les asigna. Por lo tanto, es la fe ciega la que está involucrada.
¡Gracias Dan Bron! ¡Exactamente el tipo de ayuda que estaba buscando!
No hay necesidad de creer en axiomas en absoluto, a ciegas o de otra manera. Las matemáticas tratan de decidir qué se sigue o no de ellos, no si son "verdaderos" (ni siquiera estoy seguro de qué significa que los axiomas de la teoría de grupos, por ejemplo, sean "verdaderos"). Incluso en la ciencia no hay necesidad de creer en postulados y teorías basadas en ellos, uno puede pensar en ellos como ficciones útiles con beneficios prácticos, nada más. Y muchos lo hacen, ven ficcionalismo y antirrealismo científico .
Para su primera pregunta, depende de lo que quiera decir con "teoría matemática". A menudo, tener axiomas es parte de la definición de una teoría matemática.
Me gusta la inclinación de esta pregunta. Es posible que desee ver la subjetividad y la objetividad desde un punto de vista combinatorio y de teoría de juegos. En este modelo, la subjetividad es una función de la información imperfecta o incompleta, o de la intratabilidad, pero puede haber modelos objetivos como un "juego resuelto" o soluciones a juegos simultáneos como el Dilema del Prisionero, que están matemáticamente probados y conllevan implicaciones éticas. .
Actualmente estoy investigando la relación de las matemáticas con los equilibrios, como la máxima de Delfos "Moderación en todas las cosas" y la concepción filosófica temprana, de fuentes como Epicuro, que el equilibrio o la armonía representan el "bien". Estas ideas son interesantes porque los equilibrios son matemáticos, pero sospecho que antes de Von Neumann y Nash no había un método formal para conectar estas ideas con la ética.

Respuestas (2)

Lo que dices es generalmente cierto. Así es en parte como se obtiene el escepticismo filosófico. Por supuesto, lo que dijiste sobre probar que hay una fe ciega es un poco absurdo si lo usas como una crítica de las matemáticas: cualquier tipo de prueba formal de la necesidad de los axiomas involucrará la fe ciega o los axiomas mismos en alguna parte. Aunque las palabras utilizadas tienen ciertas connotaciones: "fe ciega" suena mucho más negativa que "certeza".

Creo que el comentario de Mauro está fuera de lugar en este caso. Mauro dijo que asumimos que los axiomas matemáticos son verdaderos hasta que se demuestre que son falsos. Lo diría de otra manera: los axiomas matemáticos son las reglas que usamos en matemáticas, por lo que no son verdaderos o falsos. Tomar un axioma como "el sucesor de cualquier número natural también es un número natural" no es algo que consideremos verdadero hasta que se demuestre que es falso. Decir que se puede demostrar que es verdadero o falso no tiene sentido. Es una regla, y no tiene mucho sentido decir que una regla es verdadera o falsa. Una declaración como "1+1=2" es más una regla/definición que una proposición que puede ser verdadera o falsa (decir que es verdadera me parece vacío).

los "axiomas" de peano no son realmente axiomas, son definiciones. compare "el camino más corto entre dos puntos es una línea" y "Z es un Nat". el primero se basa en intuiciones, el segundo no. por eso este último no está sujeto a refutación, mientras que el primero sí lo está.
Las nociones de puntos y líneas no están definidas. Decir que los axiomas de la geometría euclidiana son incorrectos realmente no tiene sentido a menos que sean internamente inconsistentes. La idea de que la física ha "probado" que el espacio en nuestro mundo no es euclidiano no significa que los axiomas de la geometría euclidiana estén equivocados. Significa que usar esos axiomas como reglas para las teorías físicas no va a funcionar. Pero no puede decir que el axioma en sí es correcto o incorrecto como punto de partida de la misma manera que no podía decir (antes de la reciente redefinición) que la barra métrica estándar en París no mide realmente un metro de largo.
¡Muy agradable! Me parece que esta respuesta tiene una implicación sobre cómo surgen las nuevas matemáticas, que es que surgen nuevos modelos internamente consistentes.
@mobileink: los axiomas de Peano no son definiciones. Consulte cualquier libro de texto de lógica estándar. Además, vea mi publicación sobre por qué no puede haber una definición de números naturales. Solo puede haber una axiomatización de que pretendemos capturar algunas propiedades de los números naturales, y nunca jamás podremos capturarlas todas.
Y deseo dejar claro el punto de Franz en su comentario; Las declaraciones no tienen ningún valor de verdad en sí mismas. Solo después de aplicarles una interpretación con respecto a algún mundo (estructura) obtienes un valor de verdad. Por ejemplo, "La pelota está sobre la mesa". es solo una oración en inglés y no tiene valor de verdad hasta que la interpretas. Si lo interpreta en un contexto donde "la pelota" y "la mesa" tienen referentes, e incluye una cierta interpretación de lo que significa "sobre", entonces sí obtiene un valor de verdad. Diferentes interpretaciones en diferentes contextos darán diferentes valores de verdad.
Entonces, de hecho, puede decir que bajo alguna interpretación (razonable) de la geometría euclidiana con respecto al mundo real, no es sólida. Esto es lo que Franz quiere decir con "usar esos axiomas como reglas para las teorías físicas no va a funcionar". ¡Pero lo mismo ocurre con los números naturales! Según la interpretación de los números naturales como enteros binarios almacenados en su computadora, PA aparentemente no es sólido... Sin embargo, es maravillosamente preciso en nuestras pequeñas escalas humanas...

En primer lugar, las matemáticas son circulares incluso en la noción de números naturales . Peor aún, no solo no existe una alternativa viable, sino que tampoco existe un modelo físico aparente de la Aritmética de Peano . Además, los teoremas de incompletitud generalizados se pueden probar en metasistemas débiles como ACA, lo que implica que no hay absolutamente ninguna forma de precisar los números naturales mediante ningún sistema formal útil. Por lo tanto, incluso si asumimos que PA tiene razón sobre los números naturales (cualesquiera que sean), es realmente un tipo extraño de 'fe ciega' porque ni siquiera podemos especificar matemáticamente cuáles son los números naturales y, sin embargo, ¡estamos haciendo suposiciones sobre ellos! Además, te puede interesaresta breve reseña de los crecientes supuestos filosóficos necesarios para expresar más o probar más .

Entonces, sí, todas las matemáticas se basan en la fe en el sentido de que no hay una justificación válida para que PA sea completamente correcta sobre alguna estructura en el mundo real y, sin embargo, los sistemas formales se basan en propiedades de manipulación de cadenas esencialmente equivalentes. Pero, no, PA se diseñó originalmente para capturar lo que pensamos que era correcto sobre lo que concebíamos como números naturales, y parece funcionar a escala humana, entonces, ¿es eso realmente 'fe ciega'? Si es así, ¿cómo puede explicar por qué funciona el descifrado RSA?

En segundo lugar, su pregunta acerca de las teorías filosóficas queda totalmente respondida por las consideraciones anteriores acerca de los sistemas formales. Permítanme decirlo explícitamente. Todo sistema formal necesita que se cumplan las propiedades básicas de las cadenas finitas; de lo contrario, ni siquiera se puede afirmar que la noción misma de deducción lógica sea válida. Pero no existe un sustituto viable para los sistemas formales en el razonamiento lógico riguroso, por lo que cualquier teoría filosófica que tenga validez de prueba objetiva ya se basa en las mismas circularidades que las matemáticas. Y si una teoría filosófica no tiene validez de prueba objetiva, no se puede afirmar que sea objetiva, y podría decirse que es peor que tener una 'fe ciega' en la aritmética clásica. La razón es que cualquier prueba reivindicada en lógica clásica puede comprobarse sintácticamente y su validez sobre el sistema deductivo es decidible e inequívoca. entonces cualquiera que piense que su interpretación semántica de los axiomas es verdadera, entonces se ve obligado a aceptar la verdad semántica de las conclusiones probadas. Por el contrario, cualquier sistema no sintáctico no es mejor que opiniones arbitrarias, ya que no hay una delimitación precisa de argumentos válidos.

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