¿Cómo podemos tener una 'existencia natural' para los números complejos? [cerrado]

Para aquellos que no saben qué es un número complejo, en términos simples, ¡un número complejo es la raíz cuadrada de un número negativo ! Por ejemplo, la raíz cuadrada de -1 se llama número complejo. Esos números aparecen en leyes que describen fenómenos del mundo real. De ahí mi pregunta, ¿cómo podemos racionalizar el hecho de que existen los números complejos?

Tengo cierta intuición sobre cómo trabajar con números racionales o reales, ¡pero los números complejos parecen ser indistinguibles de la magia! ¿Por qué creemos que confiar en tales números para las teorías físicas está bien? ¿No es un gran problema que la mayor parte de la física se base en esto?

** Fin de la pregunta por NoChance **

Comentario: Esto es algo inexacto . ... Los "números complejos" son el 'superconjunto' de números reales: 'expanden' el conjunto de números reales para 'incluir' el conjunto de números 'imaginarios'. .. Cualquier número positivo en el sistema de números reales tiene dos raíces cuadradas: raíz cuadrada positiva y raíz cuadrada negativa (estoy descuidando el cero aquí porque no es ni positivo ni negativo, sino un número que es en sí mismo independientemente de la suma (por sí mismo) o la multiplicación ). Pero, ¿qué pasa con los números negativos? -- Para ayudar a 'completar' este sistema de tener raíces cuadradas para TODOS los números (hasta entonces, conocidos), se introdujo el concepto del número imaginario "&i$" [Referencia: http://jeff560.tripod.com/ i.html]: definido como el "número", cuando se multiplica por sí mismo, da el número -1. Después, el resto es, como dicen, ¡historia! ... Entonces, por definición, un número complejo se define como un 'número' de la forma $a + bi$ donde $a$, $b$ $\in$ $\mathbb{R}$ [el conjunto de todos los números]. ... (Tales números, considerados por muchos, son sus propios objetos matemáticos, no lo mismo que los números reales, pero están sutilmente relacionados con ellos (a través de algunas propiedades matemáticas muy profundas que no conozco)). No son menos "números" que los "reales" o "racionales". ... Además, de la filosofía: lo que llamamos 'realidad' solo puede conocerse a partir de nuestra(s) experiencia(s) de ella a través de nuestros cinco sentidos: sin ellos NO hay forma de que sepamos nada de la "realidad" (habría preguntarle a un profesor de filosofía por qué... no realmente no sé por qué). Por lo tanto, lo que llamamos 'intuitivo' puede / puede no reflejar fácilmente la naturaleza "ontológica" de la 'realidad' física: por lo tanto, hay muchos conceptos y construcciones [matemáticos] utilizados en la física que no son fácilmente humanamente 'intuitivos' [ algo que ver con el "positivismo" y tal ... de nuevo, no podría decirte qué] - pero, sin embargo, son fundamentales para investigar las características medibles y experimentalmente susceptibles de nuestro 'mundo'.]

Estás planteando la pregunta cuando dices que un número no puede existir en este mundo cuyo cuadrado sea -1. ¡Eso es precisamente lo que es la unidad imaginaria i ! Y si reconoce que los números complejos tienen una base en el electromagnetismo, ¿por qué le parece que este número no tiene sentido como instrumento para hablar de la realidad, o que la realidad también desautoriza de algún modo el álgebra que implican los números complejos?
Dado que Euler tenía problemas con los números imaginarios , esta parece una pregunta válida. Además, no siempre es el caso que postular un nuevo elemento/axioma a un sistema formal lo mantendrá consistente, por lo que preguntar si agregar i arruinará el álgebra es una pregunta legítima.
@Cerrar/Reabrir votantes. Tengo una edición pendiente para cambiar sustancialmente esta pregunta de modo que creo que es una pregunta real que abordan las respuestas. ¡Siéntase libre de mencionar cualquier problema en mi edición!
@Discretelizard, gracias por tu edición. Le recomiendo que agregue las modificaciones en su edición como una aclaración adicional a la pregunta original en lugar de cambiar la pregunta original en sí.
@NoChance Pensé que era una charla innecesaria, pero muy bien.
@NoChance Aunque me temo que no puedo entenderlo, sigue sin estar muy claro para mí. (¿Está respondiendo a los comentaristas? Intente dejarlo un poco más claro) Siéntase libre de mejorar.
¿Qué no está claro sobre la pregunta original?
¿Está dispuesto a aceptar los números reales, que requieren una construcción de segundo orden, pero no los números complejos, que son una extensión algebraica de los reales? ¿Tiene problemas con una raíz cuadrada de $-1$ (que, una vez que tiene los números reales, es fácil de unir) pero no con una raíz cuadrada de $2$ (que requiere mucho trabajo para construir)? Qué extraño conjunto de prioridades.
@WillO, ¡no estoy solo! Los números complejos también se conocen como números imaginarios. La pregunta simplemente dice, si algo contradice el álgebra tal como la conocemos, ¿cómo puede estar en armonía con nuestro sistema lógico? No hay un conjunto extraño de prioridades en absoluto aquí.
¿En qué posible sentido la existencia de una raíz cuadrada de 2 es menos contradictoria con el "álgebra tal como la conocemos" que la existencia de una raíz cuadrada de -1?
@WillO La raíz cuadrada de 2 como valor numérico obedece todas las reglas de la palabra "real". Por ejemplo, es la longitud "muy exacta" de un lado de un cuadrado del cual el área del cuadrado es 2. Para mí eso es real. El hecho de que no podamos medirlo hasta el último decimal se debe a que nuestro dispositivo de medición es ineficiente.

Respuestas (4)

En primer lugar, los números complejos (y los números imaginarios) aparecen en los fenómenos del mundo real; tienen muchas aplicaciones prácticas.

Pero ahora, pasemos a la parte filosófica del problema.

Los números son abstracciones. No existen de la misma manera que, digamos, existen los objetos físicos. Puedes darme dos manzanas, pero no puedes darme solo dos.

Como abstracciones, siguen ciertos patrones conceptuales. Para números enteros positivos, estas abstracciones son bastante intuitivas; para otros tipos de números (como números negativos, números racionales o números irracionales) lo son menos.

Su pregunta menciona la raíz cuadrada de -1, pero tomemos la raíz cuadrada de 2. ¿Ese número "existe en el mundo" de alguna manera significativa? ¿Puedes darme la raíz cuadrada de 2 manzanas?

Afortunadamente, esto no impide nuestra capacidad de usar la raíz cuadrada de 2; desde una perspectiva filosófica, podemos hacer esto adoptando una posición conocida como ficcionalismo ; en resumen, podemos tratar los números como objetos ficticios y sustituirlos en fórmulas sin hacer ningún compromiso ontológico en cuanto a su existencia. Siempre que la sustitución satisfaga las restricciones (es decir, en un contexto más amplio, sea adecuada para los fenómenos) estamos bien.

Entonces, para responder a su pregunta: no tenemos que racionalizar que existen números complejos. No importa si existen o no.

EDITAR: Encontré un artículo de la SEP que trata específicamente del Ficcionalismo en Matemáticas ; es una buena referencia para el caso más específico.

Bueno, la raíz cuadrada de 2 se puede visualizar como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de tamaños 1 y 1. Pero eso es una distracción. Como es bien sabido por la teoría de Galois, la mayoría de los números reales no se pueden construir de esta manera.
Pero debo objetar algo. Creo que, inspirado por el teorema de completitud de Gödel (aunque, a diferencia de ese teorema, aplicado a la lógica que no es de primer orden), deberíamos definir "existente" como consistente. Seguramente es importante que los números reales sean consistentes. De hecho, ese es todo su punto. Los números complejos también son consistentes. La prueba no es obvia, pero la describí en los comentarios a la pregunta.
Ciertamente puedo darte aproximadamente sqrt(2) de manzanas; darte un número complejo de manzanas definitivamente sería una hazaña interesante.
Es cierto que los números racionales son densos en los números reales. De hecho, los números reales son la terminación de los números racionales. Sin embargo, esto no tiene nada que ver con nada. Así como no puedo darte sqrt(2) manzanas, no puedo darte i manzanas. Así como puedo darte aproximadamente sqrt(2) (=|sqrt(2)|) manzanas, puedo darte aproximadamente 1 (=|sqrt(i)|) manzanas. Esto no influye en si el número real "existe" o no.
@Rom: ¿Por qué deberíamos definir "existente" como consistente? Estoy de acuerdo en que es importante que los números reales sean consistentes; no tiene importancia alguna si realmente existen o no. Rechazar el platonismo no obstaculiza de ninguna manera la capacidad de uno para usar las matemáticas de manera efectiva.
@Rom: Además, solo para aclarar: mi argumento en mi respuesta no es "ya que no puedes darme la raíz cuadrada de 2 manzanas, la raíz cuadrada de 2 no existe"; mi punto era más bien que aunque los enteros positivos son fáciles de representar con manzanas, el hecho de que algunos otros números no sean tan fáciles de representar con manzanas no tiene relación con la existencia o no de los números. Y, de hecho, si uno es ficcionalista en cuanto a números, no importa un bledo.
Existir implica consistencia. En el caso de la lógica de primer orden, que no es el caso de los axiomas de los números reales, entonces también es cierto lo contrario (teorema de completitud de Godel). En el caso de la lógica que no es de primer orden, en efecto, cada prueba que he visto de la consistencia de algún objeto es que existe (construyéndolo, usando el supuesto de consistencia de ZF), por lo que en la práctica casi no hay diferencia. Pero la gente tiene problemas con la palabra "existente", y necesitamos una definición funcional. Entonces, ¿por qué no la consistencia?
@Rom: Supongo que no veo una conexión entre consistencia y ontología. No veo ninguna razón por la que las cosas inconsistentes no puedan existir, y por qué las cosas consistentes pueden no existir. Pero, más al punto de esta pregunta, no veo ninguna razón para distinguir entre diferentes clases de objetos matemáticos cuando se trata de existencia; no hay razón para imputar un estado ontológico diferente a los números complejos que, digamos, números enteros o reales
"No veo ninguna razón por la que las cosas inconsistentes no puedan existir" -- bueno, entonces, claramente tu definición de existencia es demasiado permisiva.
No todos compramos el ficcionalismo. La profunda utilidad de los números complejos para describir ciertos fenómenos físicos es en realidad uno de los muchos buenos argumentos en su contra. (De su artículo, caigo en el campo platónico).
@codebolt: si eres un platónico sobre números complejos, mucho mejor, entonces no tienes ningún problema con la pregunta. El interrogador partía de la premisa de que la raíz cuadrada de uno negativo no existe , así que traté de dar una respuesta en esos términos.
@Michael Dorfman Gracias por agregar el enlace, lo leeré.

Olvídese por un momento de haber aprendido algo sobre los llamados números "complejos" o "imaginarios". Comencemos con los números conocidos como números "reales". Sabemos cómo hacer aritmética en esos. Sin embargo, ¿qué pasa con los pares de números reales? Supongamos que tengo dos elementos, (a, b)y (c, d), donde a, b, c y d son todos números reales. Seguramente si existen los números reales entonces existen pares ordenados de números reales. ¿Puedo realizar operaciones aritméticas significativas en (a, b)y (c, d)?

Intentaré definir la aritmética de esta manera:

  • (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
  • (a, b) * (c, d) = (ac - bd, bc + ad)

Mi forma de definir la multiplicación puede parecer un poco extraña, pero no creo que eso deba ser un problema de comprensión.

Hasta ahora solo hemos tratado con números reales y pares de números reales... ciertamente esos existen. Hagamos una extraña observación sobre estos pares de números y su aritmética:

(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)

Entonces podemos llamar al elemento (0, 1)la raíz cuadrada del elemento (-1, 0). Seguramente este tipo, (0, 1)existe en el mismo sentido en que existen los números reales... es solo un par ordenado de números reales en un sistema con una forma original de hacer aritmética.

Ahora (a, b)parece que esos elementos deberían existir de la misma manera que los números reales regulares, pero son un poco más complicados. Necesitan algún tipo de nombre... ya que son más complicados, ¿qué tal si los llamamos números "complejos"? También exijamos que la aritmética compleja funcione de la manera que describí.

Así que acabamos de configurar un sistema de números que llamamos "números complejos" que no hace referencia a cosas que no existen. Solo teníamos que multiplicar de una manera divertida. Ahora recordemos a nuestro viejo amigo (0, 1)... pongámosle un nombre. Soy perezoso y no quiero darle un nombre largo, así que llamémoslo i. Creo que puedes ver que cualquier número complejo (a, b)ahora puede reescribirse como a + bi. Así que los números complejos son números de la forma a + bidonde a y b son números reales y ies nuestro viejo amigo (0, 1). No hay nada imaginario en él... existe de la misma manera que (1, 0)existe su primo.

Esta es una manera brillante de explicar los números imaginarios. Espero que los autores sobre el tema adopten un enfoque similar. No tengo ningún problema en comenzar con un def. y construir una teoría que sea consistente con ella Sin importar cuán extraños puedan parecer los resultados. De hecho, este es el caso en muchas materias matemáticas. Si esas abstracciones matemáticas existen o no, no es exactamente de lo que trata mi pregunta. Lo verdaderamente especial de (i) es que se usa para representar cosas reales en este universo. Es decir, usamos esta cantidad (extraña e imaginaria) para medir cosas (reales) que existen en este universo.
¡La 'brillantez' aquí se conoce como 'álgebra abstracta'! ¡Intenta leer algunos libros sobre esto si te gusta! Creo que es bastante factible para los filósofos con un poco de experiencia (digamos, un solo curso) en lógica básica. La idea principal es esta: cuando trabajamos con números, solo nos importa qué 'operaciones' permitimos. Entonces, ignoramos todo menos las operaciones e incluso ignoramos cómo funcionan las operaciones en la práctica y simplemente las definimos usando algunos axiomas 'lógicos'. ¡Este es un campo muy agradable que realmente muestra el poder de la abstracción en Matemáticas!

La geometría fue axiomatizada hace 2500 años. Fue solo hacia fines del siglo XIX que la aritmética fue. Los números son tan 'obvios' que es difícil pensar en ellos.

Por lo general, cuando te presentan los números complejos en la escuela, son bastante oscuros. Los números negativos en un momento de la historia (del pensamiento matemático en Europa) no se consideraban números. Antes de eso, había controversia sobre el cero, e incluso sobre que 'uno' era un número.

Uno puede cuestionar todas estas cosas (y es bueno cuestionarlas) pero en algún momento el cuestionamiento se detiene porque te das cuenta de lo que puedes y no puedes hacer. No, no puedo tener manzanas '2+3i', pero está bien, las reglas formales que se aplican a tales números no se aplican a las situaciones de tener manzanas. Puedo ver 5 manzanas, pero no -5 de ellas, pero está bien, '-5' no es algo que se vea (bueno, en realidad, si las ves en las manos de otra persona, se podría considerar que estás viendo '-5 manzanas'). Pero, ¿realmente ves '-5' solo o incluso '5' solo? No me parece. La existencia de números no es como la existencia de objetos de palabras reales.

De todos modos, 5, -5, 3+2i en realidad no existen 'allá afuera', pero podemos usarlos cuando hablamos de objetos 'allá afuera'.

Tu última oración es importante, ¿cómo podemos describir la realidad con abstracciones no reales (números complejos)? ¿Por qué no estamos usando abstracciones reales para describir el mundo real?
Porque todo polinomio tiene una raíz compleja, pero no nec. Están solos.
@Emmad: En tu opinión, ¿cuál es la diferencia entre una abstracción no real y una real? En matemáticas, la etiqueta es meramente un bagaje histórico, no un calificador ontológico. ¿Sería el grupo simétrico de n objetos una abstracción real? ¿Qué pasa con el grupo de números enteros módulo n ?

Como otros ya han mencionado, los números son, por supuesto, abstracciones. Sin embargo, al menos podría afirmar que los números enteros tienen significado ya que son representaciones de cantidad en el mundo real. Tienes cinco manzanas frente a ti, por ejemplo.

Ahora bien, si tomo una manzana, la corto por la mitad y dejo el resto, no tienes cuatro manzanas y tampoco tienes cinco todavía. Por lo tanto, los números reales también pueden representar el mundo real.

Ahora bien, si me llevo todas las manzanas, ¿qué te queda? El cero también es abstracto, sin embargo, sin él, no podría representar una cantidad representativa de ninguna manzana. Lo mismo podría decirse de los números negativos que de otro modo no podrían representar deuda bancaria o una caída en los precios del mercado.

Si continúa con esta línea de razonamiento, comprenderá que los números complejos son simplemente otra extensión de la representación en el mundo real, aunque un poco técnica. El hecho de que no pueda ver la aplicación usted mismo no significa que no haya una.

Una objeción: si tomas una manzana y la cortas en dos porciones, tienes una demostración de números racionales , no de números reales.
Los números racionales son un subconjunto de los números reales, siendo solo un número que se puede escribir en forma de fracción. Me refería a la capacidad de poder tener una cantidad que no se puede expresar en términos de números enteros. No cuenta los gránulos de polvo de harina cuando desea expresar una cantidad, por ejemplo. Puede ser un peso irracional con el que tengas que lidiar. Además, para todos los efectos, parece media manzana, pero en realidad es un valor que no se puede expresar como un número racional.
Dado que una manzana tiene un número finito de átomos, y el número de átomos en cada parte del número dividido es un número entero, parece media manzana pero en realidad es un número racional. Del mismo modo, los gránulos de harina siempre formarán un peso racional. Los números irracionales no aparecen a menudo en los ejemplos del mundo real (si tomamos medidas hasta su conclusión final). Pero como dije, esto es solo una objeción menor, y su respuesta fue bastante buena.
¿Cómo podemos tener una 'existencia natural' para los números complejos? [cerrado]
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