¿Cuál es la diferencia entre un campo escalar complejo y dos campos escalares reales?

Question

¿Cuál es la diferencia entre un campo escalar complejo y dos campos escalares reales?

Kostya

Considere un campo escalar complejo $\phi$ con el lagrangiano:

L = \partial_{m} ϕ^{†} \partial^{m} ϕ - {metro}^{2} ϕ^{†} ϕ .

$L = \partial_\mu\phi^\dagger\partial^\mu\phi - m^2 \phi^\dagger\phi.$

Considere también dos campos escalares reales $\phi_1$ y $\phi_2$ con el lagrangiano:

L = \frac{1}{2} \partial_{m} ϕ_{1} \partial^{m} ϕ_{1} - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ_{1}^{2} + \frac{1}{2} \partial_{m} ϕ_{2} \partial^{m} ϕ_{2} - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ_{2}^{2} .

$L = \frac12\partial_\mu\phi_1\partial^\mu\phi_1 - \frac12m^2 \phi_1^2 +\frac12\partial_\mu\phi_2\partial^\mu\phi_2 - \frac12m^2 \phi_2^2.$

¿Son estos dos sistemas esencialmente iguales? ¿Sí no, Cuál es la diferencia?

QGR

Realmente,

ϕ \equiv (ϕ_{1} + i ϕ_{2}) / \sqrt{2}

$\phi \equiv \left( \phi_1 + i \phi_2 \right)/\sqrt{2}$ .

Kostya

Lo siento, transformación C. Conjugación compleja.

QGR

C no siempre se define de forma única. Puede que ni siquiera sea una simetría de la teoría. En particular, para la teoría de campo libre, a menudo, no hay un C único.

Motl de Luboš

Querido Moshe, QGR no te estaba diciendo otra solución. Estaba corrigiendo tu normalización. ;-) Kostya hizo la pregunta y enumeró dos lagrangianos que están directamente asignados entre sí por la redefinición de QGR, no por la tuya. :-)

Motl de Luboš

Kostya: los intercambios de conjugación de carga

ϕ

$\phi$ con

ϕ^{†}

$\phi^\dagger$ . Porque

ϕ = (ϕ_{1} + i ϕ_{2}) / \sqrt{2}

$\phi=(\phi_1+i\phi_2)/\sqrt{2}$ y

ϕ^{†} = (ϕ_{1} - i ϕ_{2}) / \sqrt{2}

$\phi^\dagger=(\phi_1-i\phi_2)/\sqrt{2}$ , se deduce que el intercambio de

ϕ

$\phi$ y

ϕ^{†}

$\phi^\dagger$ en este caso es simplemente

ϕ_{2} \to - ϕ_{2}

$\phi_2\to-\phi_2$ tiempo

ϕ_{1}

$\phi_1$ se mantiene fijo. Nosotros decimos eso

ϕ_{1}

$\phi_1$ es C-incluso mientras

ϕ_{2}

$\phi_2$ es C-impar. Sin embargo, si

ϕ

$\phi$ se carga bajo cualquier simetría continua, como

U (1)

$U(1)$ , sería tonto descomponerlo en dos partes. Sin embargo, el mensaje de que la conjugación C puede parecer ad hoc es completamente válido. C no es una simetría dada por Dios.

Respuestas (5)

¿Cuál es la diferencia entre un campo escalar complejo y dos campos escalares reales?

Realmente, $\phi \equiv \left( \phi_1 + i \phi_2 \right)/\sqrt{2}$ .
C no siempre se define de forma única. Puede que ni siquiera sea una simetría de la teoría. En particular, para la teoría de campo libre, a menudo, no hay un C único.
Querido Moshe, QGR no te estaba diciendo otra solución. Estaba corrigiendo tu normalización. ;-) Kostya hizo la pregunta y enumeró dos lagrangianos que están directamente asignados entre sí por la redefinición de QGR, no por la tuya. :-)
Kostya: los intercambios de conjugación de carga $\phi$ con $\phi^\dagger$ . Porque $\phi=(\phi_1+i\phi_2)/\sqrt{2}$ y $\phi^\dagger=(\phi_1-i\phi_2)/\sqrt{2}$ , se deduce que el intercambio de $\phi$ y $\phi^\dagger$ en este caso es simplemente $\phi_2\to-\phi_2$ tiempo $\phi_1$ se mantiene fijo. Nosotros decimos eso $\phi_1$ es C-incluso mientras $\phi_2$ es C-impar. Sin embargo, si $\phi$ se carga bajo cualquier simetría continua, como $U(1)$ , sería tonto descomponerlo en dos partes. Sin embargo, el mensaje de que la conjugación C puede parecer ad hoc es completamente válido. C no es una simetría dada por Dios.

pho · Answer 1

Aquí hay algún tipo de respuestas tontas, excepto QGR, que dice correctamente que son idénticas. Los dos Lagrangianos son isomorfos, los campos acaban de ser reetiquetados. Así que cualquier cosa que puedas hacer con uno lo puedes hacer con el otro. El primero se ha manifestado $U(1)$ simetría global, el segundo manifiesto $SO(2)$ pero estas dos álgebras de Lie son isomorfas. Si desea medir la simetría global, puede hacerlo de la manera obvia. Puede usar un escalar complejo para representar un solo campo cargado, pero también podría usarlo para representar dos campos neutrales reales. Si no se acopla a algunos otros campos de una manera que le permita medir la carga, no hay diferencia.

Las condiciones de normalización para un campo de partículas son diferentes de las de otros dos independientes. Además, si los escalares neutros son diferentes (en algún otro número cuántico que no sea la masa), no puedes hacer su superposición (no SU(2)). U(1) asume tal superposición.

QGR · Answer 2

Son idénticos. Por lo general, usamos campos complejos si tenemos un $U(1)$ simetría, o algún grupo calibre más complicado con representaciones complejas.

Por cierto, el mismo comentario se aplica a si usamos espinores de Majorana o espinores de Weyl.

Pensé que los términos de masa eran diferentes para los espinores de Majorana y Weyl; en particular, si las masas de neutrinos eran masas de Majorana, podríamos identificar neutrinos zurdos con antineutrinos, mientras que si fueran masas de Weyl, es necesario que haya neutrinos estériles. .
@Alemán; Estás confundiendo las masas de Dirac con las masas de Weyl. Una masa Weyl es lo mismo que una masa Majorana en 4d.

Vladímir Kalitvianski · Answer 3

Vladímir Kalitvianski

Un campo escalar complejo representa una única partícula cargada, mientras que dos campos escalares reales pueden representar dos partículas neutras independientes. La diferencia es fácil de notar al imponer condiciones físicas iniciales, de límite y/o de normalización que dependen esencialmente de lo que esté describiendo: una partícula neutra cargada o dos diferentes. Dos escalares neutros independientes no obedecen a un principio de superposición, no se pueden mezclar en un campo.

usuario346

Esta es una gran observación. +1

Vladímir Kalitvianski

Tengo -2 para mi explicación. ¿Serías tan amable de señalar dónde me equivoco, por favor?

carl brannen

Interesante. Estás diciendo esencialmente algo bastante similar a lo que dijo el Dr. Motl en los comentarios.

Vladímir Kalitvianski

No sé. Publicó sus comentarios dos horas después.

Motl de Luboš

No es cierto que las dos formas de describir el campo complejo difieran en la capacidad de interferir. Las dos expresiones son totalmente equivalentes. Las partículas cargadas tienen que ser excitaciones de campos complejos, pero esa es una cuestión completamente diferente a la interferencia. Muy parecido

ϕ1 $\phi_1$ y

ϕ2 $\phi_2$ no interfieran unos con otros,

ϕ $\phi$ y

ϕ† $\phi^\dagger$ no interfieran unos con otros. Es lo mismo, solo una base diferente.

Vladímir Kalitvianski

Acepto que una partícula cargada descrita con un campo complejo

ϕ $\phi$ que se descompone en dos componentes reales como

ϕ1+ yoϕ2 $\phi_1 + i\phi_2$ . No estoy de acuerdo con que dos partículas neutras independientes describan una cargada.

Vladímir Kalitvianski

Estimados votantes negativos, díganme dónde me equivoco, por favor. Me gustaría aprender.

Miguel

Estás equivocado en que hay una diferencia porque los lagrangianos son exactamente iguales en el nivel matemático más fundamental al establecer

ϕ =ϕ1+ yoϕ2 $\phi=\phi_1+i\phi_2$ , que es la expresión completamente general para este campo escalar complejo en términos de campos escalares reales

Vladímir Kalitvianski

@Michael: lee mi respuesta detenidamente y piénsalo.

Miguel

No estoy de acuerdo porque no hay diferencia matemática de ninguna manera y, por lo tanto, describen exactamente lo mismo. Tome los siguientes dos problemas 1.a x+b=c resuelva x y 2.a y+b=c resuelva y Matemáticamente son lo mismo que describen una línea recta. Las soluciones son las mismas. Argumentar que los dos campos escalares reales son diferentes de un campo escalar complejo por las razones que da arriba es lo mismo que argumentar que las dos ecuaciones de ejemplo que escribí son diferentes porque una tiene y en ellas y la otra x. ¿Esto aclara el tema?

Vladímir Kalitvianski

@Michael: No, no lo hace. Si tomo dos campos escalares diferentes que describen partículas diferentes, no se me permite hacer ninguna superposición. Las reglas de superselección lo prohíben. No haces una superposición de electrón y protón, ¿verdad?

Miguel

Este es un malentendido que sigues y creo que descubrí tu malentendido y no está relacionado de ninguna manera con la interferencia. Claro, dos campos complejos actúan de manera diferente a dos reales porque corresponden a 4 reales. Pero aquí están hablando de dos campos de valores reales que matemáticamente y por lo tanto en fenomenología son exactamente lo mismo que un complejo. Cualquier campo complejo se puede descomponer en dos reales. Esta es la razón por la que para el campo complejo de Klein Gordon, al cuantificarlo, terminas con operadores de creación para dos especies diferentes. ¿Esto lo aclara?

Vladímir Kalitvianski

@Michael: No. Su "matemáticamente" es diferente de mi "matemáticamente" debido a condiciones de "límite" bastante diferentes implícitas por mí. Por ejemplo, en un problema cuando una partícula neutra está ausente y otra está dispersa o interactúa con otra cosa.

Miguel

Expandiendo un campo complejo

ψ $\psi$ escribiéndolo en términos de dos campos reales

ψ =ψ1+ yoψ2 $\psi=\psi_1+i\psi_2$ no cambia las condiciones de contorno ni nada más y en el nivel más fundamental es una simple reescritura. Simplemente no hay otra manera de girarlo. Tenga en cuenta que las condiciones de contorno para sus campos deben introducirse solo después de escribir sus ecuaciones de campo e intentar resolverlas. Estas condiciones de contorno se pueden elegir libremente para que se ajusten a sus necesidades. Por ejemplo, si tiene campos confinados a un contenedor, es posible que desee que los campos desaparezcan en la pared interior del contenedor, etc.

Vladímir Kalitvianski

@Michael: Sí, hay otra forma de "girarlo", si lo desea, por ejemplo:

ψ = unψ1+ segundoψ2 $\psi=a\psi_1+b\psi_2$ , dónde

a $a$ y

b $b$ son números complejos independientes. Pero no veo ningún significado en tal

ψ $\psi$ .

Andrés Steane

Acabo de leer esta conversación; Observo que Michael sigue volviendo al campo complejo. Pero no se discute que un campo complejo puede ser tratado como un par de campos reales. Lo que se discute es si el Lagrangiano por sí solo dicta la física o no, y si tiene o no dos campos reales cuyo Lagrangiano se corresponde con el de un solo campo complejo, equivale a la misma física. Vladimir está diciendo que el Lagrangiano por sí solo no dicta toda la física. Si tiene razón o no, esa es la pregunta que uno tiene que abordar.

Vladímir Kalitvianski

Como dije en mi respuesta, muchas cosas dependen del límite y las condiciones iniciales.

Andrés Steane

Sí, y estoy de acuerdo contigo.

infinitocero

Muy tarde para la fiesta, pero creo que el problema aquí es que

ψ =ψ1+ yoψ2 $\psi=\psi_1+i \psi_2$ solo es cierto si todos los números cuánticos de psi son iguales a los de

ψ1y _ _ψ2 $\psi_1 and \psi_2$ . Michael asume esto implícitamente, mientras que Vladimir dice que esto no es un hecho. Más generalmente

ψ (q1, . . . ,qnorte) =ψ1(r1, . . . ,rnorte) + yoψ2(s1, . . . ,snorte) $\psi(q_1,...,q_n) = \psi_1(r_1,...,r_n) + i \psi_2(s_1,...,s_n)$ sólo si

qi=ri=si $q_i = r_i = s_i$ . Si bien siempre es posible deconstruir

ψ (q1, . . .qnorte) =ψ1(q1, . . . ,qnorte) + yoψ2(q1, . . . ,qnorte) $\psi(q_1,...q_n) = \psi_1(q_1,...,q_n) + i \psi_2(q_1,...,q_n)$ esto claramente se desmorona en la otra dirección si el segundo lagrangiano en el OP marcara una diferencia entre las masas.

Tania Robles · Answer 4

Tania Robles

son equivalentes desde el punto de vista de la física y se pueden mapear entre sí.

stafusa

¡Hola y bienvenidos a Physics SE! Tenga en cuenta que debe intentar escribir respuestas más completas, al menos cuando otras respuestas, como la de pho , ya hayan brindado la misma información que la suya de una manera más completa.

usuario43442 · Answer 5

Creo que el Lagrangiano libre por sí solo no da el contenido físico. También podemos representar alternativamente $\phi = \phi_0 \exp(i \theta)$ . Entonces tenemos

L = \frac{1}{2} \partial^{m} ϕ_{0} \partial_{m} ϕ_{0} + {metro}^{2} ϕ_{0}^{2} + \frac{1}{2} \partial^{m} θ \partial_{m} θ

$L = { 1 \over 2} \partial^\mu \phi_0 \partial_\mu \phi_0 + m^2 \phi_0^2 + {1 \over 2} \partial^\mu \theta \partial_\mu \theta$ Aquí también podemos preguntarnos si tenemos un campo masivo cargado o un campo neutral masivo y uno sin masa. Para decidir el contenido del campo, se debe acoplar el campo escalar con el campo vectorial o campo spinor. La representación escalar compleja puede tener un acoplamiento con el campo de calibre vectorial, mientras que la representación de dos escalares reales no lo tiene. Ahora tengo otra pregunta: si queremos acoplar un campo escalar complejo con un espinor de Dirac, ¿cómo podemos elegir entre los dos siguientes?

L_{1} = \bar{ψ} (ϕ^{†} + ϕ) ψ

$L_1 = \bar \psi (\phi^\dagger + \phi) \psi$ o alternativamente

L_{2} = i \bar{ψ} (ϕ^{†} - ϕ) ψ

$L_2 = i \bar \psi (\phi^\dagger - \phi) \psi$ ¿Y cuál es el significado físico de las dos interacciones anteriores?

Tu lagrangiano en coordenadas polares no es correcto, necesitas un $\rho^2$ en frente de $\theta$ término cinético. Debe ser diferente de lo que escribiste, ya que el espectro no depende de la elección de los campos.

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Kostya

QGR

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