QED Lagrangiano: ¿real o complejo?

Question

QED Lagrangiano: ¿real o complejo?

acción
Física
teoría de campo
ecuación de dirac
números complejos
formalismo lagrangiano

EnriqueH

Estoy confundido sobre el uso de números complejos en QED Lagrangian:

L = \bar{ψ} (i γ^{m} \partial_{m} - metro) ψ - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} - mi \bar{ψ} γ^{m} A_{m} ψ .

$\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_\mu\psi.$

Claramente, el espinor del campo de Dirac tiene componentes complejos. El $\gamma^\mu$ Las matrices involucran números imaginarios.

¿Hay alguna magia algebraica que signifique que $\mathcal{L}$ siempre sale real, o es complejo? Y si es complejo, ¿cómo funciona la acción? $\int{\mathcal{L}d^4x}$ salir de verdad? Qué pasa $A^\mu$ - ¿Son sus valores reales, y si es así, cómo funciona el RHS de la EOM? $\partial_{\nu}F^{\nu\mu}=e\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$ salir real dado que el $\gamma^\mu$ matrices involucran componentes imaginarias?

Carcaj

Como mencionó @Toffomat, intente evaluar qué

L^{*}

$\mathcal{L}^*$ sale a ser. Claramente, algunos términos son reales por construcción, como los términos que involucran solo

A_{μ}

$A_\mu$ s. El otro se puede encontrar muy fácilmente.

EnriqueH

De acuerdo, deduzco de estos comentarios que la respuesta es "la magia algebraica lo hace real", y me abriré camino. Gracias.

Toffomat

Tenga en cuenta que al calcular el conjugado complejo, hay varios lugares donde existen diferentes convenciones (signo de la métrica, hermitano/anti-hermiteno

γ

$\gamma$ etc.), así que tenga cuidado

bjornw

¿Trabajaste a través de esto? :)

Respuestas (1)

QED Lagrangiano: ¿real o complejo?

Como mencionó @Toffomat, intente evaluar qué $\mathcal{L}^*$ sale a ser. Claramente, algunos términos son reales por construcción, como los términos que involucran solo $A_\mu$ s. El otro se puede encontrar muy fácilmente.
De acuerdo, deduzco de estos comentarios que la respuesta es "la magia algebraica lo hace real", y me abriré camino. Gracias.
Tenga en cuenta que al calcular el conjugado complejo, hay varios lugares donde existen diferentes convenciones (signo de la métrica, hermitano/anti-hermiteno $\gamma$ etc.), así que tenga cuidado

qmecanico · Answer 1

La densidad lagrangiana de OP es hasta un término de divergencia total igual a

\begin{matrix} (A) & L = \bar{ψ} (\frac{i}{2} γ^{m} \underset{= {\vec{\partial}}_{m} - {\overset{\leftarrow}{\partial}}_{m}}{\underset{⏟}{{\overset{\leftrightarrow}{\partial}}_{m}}} - metro) ψ - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} - mi \bar{ψ} γ^{m} A_{m} ψ, \end{matrix}

${\cal L}~=~\bar{\psi}(\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\underbrace{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}_{\!\mu}}_{=\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{\mu}} - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_\mu\psi,\tag{A}$ que a su vez es real. Aquí usamos las convenciones

\begin{matrix} (B) & (γ^{m})^{†} = γ^{0} γ^{m} γ^{0}, (γ^{0})^{2} = 1 . \end{matrix}

$(\gamma^{\mu})^{\dagger}~=~ \gamma^0\gamma^{\mu}\gamma^0,\qquad (\gamma^0)^2~=~{\bf 1}.\tag{B}$

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bjornw

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qmecanico

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