¿La carga de Noether es siempre un operador hermitiano?

El teorema de Noether nos dice que a toda simetría continua del Lagrangiano le corresponde una corriente conservada j m . A partir de la componente temporal de esta corriente, podemos definir la carga noetheriana

q = ∫ d 3 X   j 0 ( X ) ,
que es un operador independiente del tiempo. En todos los ejemplos que he visto, la carga de Noether q es siempre un operador hermitiano (hasta un cambio de escala trivial por i ). Pero nadie parece mencionar nunca explícitamente este hecho con toda su generalidad.

¿Podemos probar que el teorema de Noether siempre nos dará un operador de carga hermitiano? Si no, ¿hay contraejemplos?

Respuestas (2)

La carga de Noether es el generador de la simetría a la que pertenece, consulte, por ejemplo, esta respuesta de Qmechanic . Esta relación también se conserva en la teoría cuántica, consulte esta pregunta , en el sentido de que la carga cuántica de Noether q debe conmutar con el hamiltoniano H , al menos en ausencia de anomalías y si no nos encontramos con "problemas de cuantización" al usar la cuantización canónica.

Ahora, si asumimos que la transformación de simetría clásica debe ser representada por una transformación unitaria en el espacio de Hilbert (nota: no asumo que es una transformación de simetría cuántica), entonces podemos concluir directamente por el teorema de Stone que q es hermítica y que la transformación asociada a la simetría clásica es efectivamente una simetría.

Podríamos preguntarnos si se puede abandonar esta suposición, creo que no se puede . Eliminar el requisito de que las transformaciones estén representadas por operadores unitarios lleva a que la normalización de los estados no se conserve, en particular, significa que las probabilidades después de la transformación de encontrar un estado en otros estados que forman una base no suman 1. Esto arruina caos con toda la estructura de la teoría cuántica; es una suposición física razonable que todas las transformaciones físicas se representen unitariamente en el espacio de estados de Hilbert.

@AccidentalFourierTransform Las representaciones de dimensión finita no son las representaciones en el espacio de Hilbert de la teoría (precisamente porque no son unitarias), simplemente viven en el espacio objetivo de los campos, por lo que el teorema de Wigner no se cumple. Cuando hablamos de "generadores" o "ninguna carga" en mecánica cuántica, generalmente nos referimos a un operador en el espacio de estados, no en el espacio objetivo de campos.
El teorema de Wigner es un enunciado sobre las simetrías que actúan sobre el espacio de Hilbert subyacente. El teorema de Noether se refiere a simetrías internas al Lagrangiano. No estoy muy seguro de cómo se relacionan los dos. En particular, no estoy completamente convencido de que cada simetría para el Lagrangiano deba ser unitaria.
@EuYu: Es por eso que vinculé lo que vinculé. En el marco hamiltoniano, la carga de Noether genera la simetría. Después de la cuantización (canónica), las simetrías hamiltonianas y los generadores corresponden a operadores en el espacio de Hilbert, y luego el teorema de Wigner acierta y nos dice que el operador de simetría debe ser unitario. No veo dónde ves una brecha en este argumento.
Oh, sí, eso es correcto. Consulte también esta publicación , está buscando "lo incorrecto" para decidir la hermiticidad. Tendríamos que tomar el adjunto del σ en su representación en el espacio de Hilbert , no en el representante finito-dim no unitario para concluir si o no j es hermitiano. Si es hermitiano o no en la representación en el espacio de destino de los campos es una información físicamente irrelevante, al menos no tiene significado que yo pueda ver.
De hecho, tengo que desconectarme ahora; Si desea discutir esto más a fondo, puede enviarme una línea en el chat.
Perdón por ser obtuso, pero el argumento todavía me parece circular. Déjame ver si te entiendo bien. Usemos un campo escalar complejo como ejemplo. El lagrangiano es invariante bajo ϕ ↦ mi i θ ϕ , que genera una carga q . Esta carga actúa sobre el espacio de Hilbert, con la simetría implementada a través de V ( θ ) = mi i θ q . Hasta ahora, estoy de acuerdo. Pero si no sabemos a priori que q es hermitiano, ¿cómo sabemos que tenemos | ⟨ ξ | V † V | ψ ⟩ | = | ⟨ ξ | ψ ⟩ | , ¿cuál es la condición para que se aplique el teorema de Wigner?
@EuYu: Uh-oh, tienes razón, esa es una brecha. Lo pensaré, si no puedo solucionarlo, eliminaré esta respuesta.
Gracias por la respuesta actualizada. Estoy de acuerdo en su mayor parte, pero todavía no parece satisfactorio. Si tenemos una simetría del Lagrangiano, no podemos elegir la carga que sale. La simetría asociada V ( θ ) = mi i θ q será unitario o no, y esta no es una condición que podamos establecer. Por supuesto, podemos rechazar cualquier simetría del Lagrangiano que genera tal no unitario V como no físico, que es lo que creo que estás sugiriendo. Pero el problema matemático subyacente es si tales simetrías no físicas existen en primer lugar, y eso no se ha resuelto.
@EuYu: Bueno, creo que el problema es que existe, por ejemplo, la ambigüedad de orden en la elección del procedimiento de cuantificación que hace que sea imposible decidir a partir de la expresión clásica para q si q será hermitiano en la teoría cuántica o no, por lo que realmente no puede expresar esto como un problema puramente matemático porque el procedimiento de cuantización se elige "físicamente" para hacer que todos los generadores de simetrías sean hermitianos. Por ejemplo, si elijo la cuantización de Weyl, todas las funciones de espacio de fase se enviarán a los operadores hermitianos debido a la simetrización, por lo que Q es trivialmente hermitiano.

Los generadores de supersimetría no siempre son hermitianos. Si impone SUSY, y luego calcula las corrientes de Noether correspondientes, y luego calcula la carga conservada, es decir, los generadores fermiónicos de Lorentz, obtendrá dos corrientes conservadas no hermitianas.

(Por cierto, la relación q † = q ¯ solo es válida en firma lorentziana, en firma euclidiana, esta relación no es cierta.)

De hecho, Olive y Witten hicieron un buen cálculo de esto. Hicieron justo lo que describí para norte = 2 SYM sin campos de materia y obtuvo la carga central de esta teoría. Consulte la sección 2.8 de http://arxiv.org/abs/hep-th/9701069 para obtener un cálculo detallado.

Además, no siempre obtendrías un par. q y q ¯ . Basta con tomar, por ejemplo, norte = ( norte , metro ) teorías 6D.

La moraleja de esta historia es la siguiente: Siempre asumirás S = S † (una acción real). Si su generador de simetría también es hermitiano, la corriente conservada y, por lo tanto, la carga conservada, también será hermitiana. Pero este podría no ser el caso.

¿Podrían los "generadores fermiónicos de Lorentz" ser "no hermitianos" por la misma razón que los impulsos no son unitarios ? Es decir, ¿está tomando los adjuntos como operadores en el espacio objetivo del campo y no en el espacio de Hilbert de la teoría? Este no es un verdadero contraejemplo de que los generadores sean unitarios, ya que la noción relevante de "unitario/auto-adjunto" es la de los operadores en el espacio de estados de Hilbert, no en el espacio objetivo de los campos.
En primer lugar, la pregunta inicial era sobre los cargos de Hermitian Noether, y nada sobre la unitaridad. Acabo de responder eso. En segundo lugar, las sobrecargas que actúan sobre un estado no cambian la "unitaridad" del sistema (creo que esto responde a la primera parte de su pregunta). En segundo lugar, para "crear" estados en el espacio de Hilbert de la teoría (que es el segundo parte de su pregunta) tiene que construir, a partir de los sobrealimentadores, el a y a † , que, como en el caso del oscilador armónico, no son hermitianos.
¿La carga de Noether es siempre un operador hermitiano?
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