¿Debe un lagrangiano clásico o un hamiltoniano ser una función real?

Cualquier lagrangiano o hamiltoniano físico es real. Puede haber modelos por ahí en los que$\cal{L}$y$\cal{H}$son complejos, pero en esos casos la "complejidad" debe ser por conveniencia matemática, y las cantidades calculadas en dicho modelo deberán convertirse en cantidades reales o simplemente no corresponder a observables físicos. Una fuerte razón para esto es que la integral de una función compleja es, en general, compleja también. Por tanto, un lagrangiano complejo daría lugar a una acción compleja, que no tiene ningún sentido. Incluso si el hamiltoniano no corresponde a la energía, un valor complejo$\cal{H}$daría como resultado un lagrangiano complejo, por lo que el problema persiste.

No estoy seguro de que un lagrangiano clásico deba ser real. La razon es la siguiente. Si comenzamos con algún Lagrangiano real y agregamos una divergencia total compleja, obtenemos un Lagrangiano complejo, pero este Lagrangiano final tendrá las mismas ecuaciones de movimiento que el Lagrangiano inicial, por lo que se puede usar este Lagrangiano final, si es más conveniente para algunas razones, y obtener resultados correctos.

Ejemplo: observemos que el Dirac Lagrangiano estándar$\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi$es generalmente complejo (y puede considerar esta teoría clásica antes de la segunda cuantización), pero puede agregar una divergencia total compleja y hacer que este Lagrangiano sea real (Lagrangiano simétrico$\frac{i}{2} (\bar\psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi - (\partial_\mu \bar\psi) \gamma^\mu \psi ) - m \bar\psi \psi$).