¿Por qué los campos son complejos en el Lagrangiano?

Question

¿Por qué los campos son complejos en el Lagrangiano?

SuperCiocia

Sé que un campo complejo tiene el doble de grados de libertad que un campo real, y que los campos (en QFT) no son observables, por lo que realmente no nos importa si son reales.

Pero, ¿por qué la necesidad de campos complejos? ¿Hay cosas que no funcionan a menos que haya un campo complejo?

fénix87

En sentido estricto no son obligatorios. Todavía puede hacerlo con campos reales tomando multipletes, pero a veces es más conveniente usar números complejos en su lugar.

qmecanico

Esencialmente, un duplicado de physics.stackexchange.com/q/11396/2451 y sus enlaces.

Respuestas (3)

¿Por qué los campos son complejos en el Lagrangiano?

En sentido estricto no son obligatorios. Todavía puede hacerlo con campos reales tomando multipletes, pero a veces es más conveniente usar números complejos en su lugar.
Esencialmente, un duplicado de physics.stackexchange.com/q/11396/2451 y sus enlaces.

una mente curiosa · Answer 1

No existe una representación unidimensional no trivial de $\mathrm{U}(1)$ en un campo escalar $\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$ , pero en campos complejos $\mathbb{R}^4\to\mathbb{C}$ , tenemos las representaciones unidimensionales de "fase" por

ϕ \mapsto {mi}^{mi i x} ϕ

$\phi\mapsto\mathrm{e}^{e\mathrm{i}\chi}\phi$ para

e \in Z, χ \in u (1) ≅ R

$e\in\mathbb{Z},\chi\in\mathfrak{u}(1)\cong\mathbb{R}$ para

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ parametrizado como

χ \mapsto e^{i χ}

$\chi\mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi}$ (el círculo unitario en el plano complejo).

Desde $\mathrm{U}(1)$ es el ejemplo arquetípico de una simetría continua (calibre) (piense en el electromagnetismo), los campos escalares complejos son un modelo importante (de juguete) en QFT.

Por supuesto, cada campo escalar complejo puede reemplazarse de manera equivalente por dos campos escalares reales que son su parte real e imaginaria, por lo que en realidad no son necesarios , pero usar solo campos reales puede complicar inmensamente los cálculos y notaciones reales.

Al cambiar de un escalar complejo $\phi$ a dos reales $\mathrm{Re}(\phi),\mathrm{Im}(\phi)$ , observamos que

{mi}^{mi i x} ϕ = (porque (mi x) + i pecado (mi x)) (R mi (ϕ) + i I metro (ϕ))

$\mathrm{e}^{e\mathrm{i}\chi}\phi = (\cos(e\chi) + \mathrm{i}\sin(e\chi))(\mathrm{Re}(\phi) + \mathrm{i}\ \mathrm{Im}(\phi))$ y así, escribiendo el vector real

\tilde{ϕ} = (\begin{matrix} ϕ_{1} := R e (ϕ) \\ ϕ_{2} := I m (ϕ) \end{matrix})

$\widetilde{\phi} = \left( \begin{matrix} \phi_1 := \mathrm{Re}(\phi) \\ \phi_2 := \mathrm{Im}(\phi)\end{matrix}\right)$ , vemos que la representación unidimensional compleja de

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ se convierte en uno real bidimensional con

\tilde{ϕ} \mapsto R_{mi} (x) \tilde{ϕ}

$\widetilde{\phi}\mapsto R_e(\chi)\widetilde{\phi}$ con la matriz de rotación

R_{mi} (x) := (\begin{matrix} porque (mi x) & - pecado (mi x) \\ pecado (mi x) & porque (mi x) \end{matrix})

$R_e(\chi) := \left(\begin{matrix}\cos(e\chi) & -\sin(e\chi) \\ \sin(e\chi) & \cos(e\chi)\end{matrix}\right)$ que ahora se parece más a una representación de las rotaciones 2D reales

S O (2)

$\mathrm{SO}(2)$ (el habitual para

e = 1

$e = 1$ ). Como representación real, esto es irreducible (no puede diagonalizar todas las matrices de rotación a la vez), por lo que no puede reducir los grados de libertad y aún así tener una representación no trivial de

U (1) ≅ S O (2)

$\mathrm{U}(1)\cong\mathrm{SO}(2)$ . Dos grados de libertad reales son el mínimo para tener algún tipo de simetría continua no trivial, ya que

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ es el grupo de mentiras más simple aparte del poco emocionante

R, +

$\mathbb{R},+$ .

y ¿por qué necesitamos dos campos reales? Como en, ¿por qué 2 grados de libertad? ¿Por qué no 3?
@SuperCiocia: Porque un número complejo $z$ es equivalentemente descrito por dos números reales $\mathrm{Re}(z)$ , $\mathrm{Im}(z)$ .
Sí, lo sé, quise decir por qué necesitamos dos grados de libertad para nuestras teorías de campo. ¿Por qué no 3 o 4?
@SuoerCiocia: Principalmente porque, como digo, no hay una representación no trivial de $\mathrm{U}(1)$ (o cualquier otro grupo de Lie relevante, para el caso) en un grado real de libertad. Puedes hacer una teoría de un escalar real, pero será aburrido (en particular, no tendrá electromagnetismo).

Bosoneando · Answer 2

¿Qué tipo de campos estás usando?

Si está trabajando con campos espinores, la representación de las transformaciones de Lorentz es compleja. Entonces, incluso si el campo es real en algún marco de referencia, si cambia a otro marco de referencia, se volverá complejo. No hay forma de evitar los complejos campos espinosos.

ajmeteli · Answer 3

ajmeteli

En realidad, puede prescindir de campos complejos, al menos en algunos casos generales e importantes, y no me refiero a reemplazar un campo complejo con dos campos reales. Schroedinger señaló que, en el caso de un campo escalar que interactúa con un campo electromagnético (la electrodinámica de Klein-Gordon-Maxwell, o electrodinámica escalar), se puede usar el llamado calibre unitario, donde el campo escalar es real. También puede escribir un lagrangiano equivalente con un campo real (consulte, por ejemplo, Eq.14 en mi artículo http://akhmeteli.org/akh-prepr-ws-ijqi2.pdf (publicado en Int'l J. Quantum Information ) - el lagrangiano fue derivado por Takabayashi). ¿Qué pasa con los campos de espinor? @Bosoneando, por ejemplo, cree que "No hay forma de evitar campos espinosos complejos". Sorprendentemente, lo hay. mostré enhttp://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (publicado en J. Math. Phys.) (ver también http://arxiv.org/abs/1502.02351 ) que tres de para los componentes complejos del espinor de Dirac en la ecuación de Dirac se pueden eliminar algebraicamente en un caso general. El componente restante se puede hacer real mediante una transformación de calibre.

Bosoneando

Hola, @akhmeteli, lamento la respuesta tardía. No había visto tu respuesta antes. Debo decirle que su artículo de arXiv está equivocado: no puede tomar derivadas cuando está resolviendo una ecuación diferencial. No todas las soluciones de (5) son soluciones de (1).

Bosoneando

Imagina que quieres resolver

i \partial_{x} y = y

$i\partial_x y=y$ , cuya solución,

y = C e^{- i x}

$y=C e^{-ix}$ , es complejo. Lo que estás tratando de hacer es

y = i \partial_{x} y = i \partial_{x} (i \partial_{x} y) = - \partial_{x}^{2} y

$y = i \partial_x y = i \partial_x(i\partial_x y) = -\partial_x^2 y$ , entonces la solución es

y = A \cos x + B \sin x

$y=A\cos x + B\sin x$ , que es real si

A

$A$ y

B

$B$ son. PERO no lo es, por lo general

A

$A$ y

B

$B$ , una solución de la ecuación original.

Bosoneando

Además, no aborda el punto principal de mi respuesta: la representación espinosa del grupo de Lorentz es compleja. Si requiere que el espinor sea real, está seleccionando un marco de referencia y rompiendo la invariancia de Lorentz.

ajmeteli

@Bosoneando: "No puedes tomar derivadas cuando estás resolviendo una ecuación diferencial. No todas las soluciones de (5) son soluciones de (1)". Si bien estoy de acuerdo en que "No todas las soluciones de (5) son soluciones de (1)", no significa que mi artículo esté equivocado. Además, escribí explícitamente en mi preimpresión: "el conjunto de soluciones de la ecuación (5) utilizado para derivar la ecuación (27) es más amplio que el conjunto de soluciones de la ecuación de Dirac (cf. [4])". Debe mostrar específicamente lo que está mal en mi artículo, de lo contrario, tendré que considerar su crítica infundada.

ajmeteli

@Bosoneando: "que es real si A y B lo son. PERO no es, para A y B en general, una solución de la ecuación original". Nuevamente, debe mostrar qué es lo que está mal específicamente en mi preimpresión. Hasta ahora no veo cómo esto es relevante.

ajmeteli

@Bosoneando: "Si requiere que el espinor sea real, está seleccionando un marco de referencia y rompiendo la invariancia de Lorentz". En cualquier marco de referencia, la ecuación de Dirac es generalmente equivalente a una ecuación de cuarto orden para un solo componente, que puede hacerse real mediante una transformación de calibre. Entonces puedes hacerlo solo con un componente real. Así que mantengo las conclusiones de mi preprint y respetuosamente rechazo su crítica. Si no está de acuerdo, muestre explícitamente qué conclusión de mi preprint es incorrecta y por qué.

Bosoneando

Me encanta tu razonamiento circular. Para demostrar que no está agregando nuevas soluciones a sus ecuaciones, en (46) toma derivadas una vez más y, por lo tanto, está incluyendo nuevamente las nuevas soluciones que afirma que no existen. Para ser claros: ¿ Qué conclusión es incorrecta? Que su ecuación de cuarto orden es equivalente a la ecuación de Dirac. ¿Por qué? Porque está agregando nuevas soluciones que estropean la (no) realidad y la simetría de Lorentz de los espinores reales .

ajmeteli

@Bosoneando: Gracias por al menos ser más específico esta vez, sin embargo, la conclusión que cita no es incorrecta. Específicamente explico (inmediatamente después de la Ec. (50)) en qué sentido la ecuación es generalmente equivalente a la ecuación de Dirac, y luego demuestro la equivalencia, estableciendo una correspondencia biunívoca entre las soluciones de las ecuaciones. Por lo tanto, hasta que me muestres un error en mi prueba, mantendré mi conclusión. Comentaré sobre la simetría de Lorentz más adelante, pero permítanme enfatizar ahora que no veo qué conclusión de mi artículo es incorrecta.

Bosoneando

Entiendo lo que quieres decir con la equivalencia de las dos ecuaciones, y te repetiré dónde está el error en tu prueba: ecuación (46). Usted afirma que "[(27)] implica la ecuación de Dirac para el espinor de Dirac restaurado a partir de sus componentes

\bar{ξ} ψ

$\bar{\xi}\psi$ usando las ecuaciones (24,33,39,40)". Pero la ecuación (40) NO implica la ecuación (50) porque no puedes hacer la ecuación (46). No hay nada más que discutir allí.

ajmeteli

@Bosoneando: Estoy de acuerdo en que (40) no implica (50), pero no tiene por qué. Sin embargo, (40) junto con (24), (33), (39) y (27) y algunas fórmulas derivadas anteriormente implican (50). (24), (33), (39), (40) simplemente haga una receta para restaurar el espinor de Dirac a partir de su componente. Así que respetuosamente rechazo tu crítica. Sin embargo, lamento que la prueba en la preimpresión sea bastante compleja. Probablemente, debería haberlo explicado mejor.

ajmeteli

@Bosoneando: en cuanto a la simetría de Lorentz, es que la transformación del campo se vuelve más compleja: el espinor y el vector se transforman juntos, ya que tiene una transformación de Lorentz ordinaria más una transformación de calibre para mantener real el componente del espinor. Entonces, los campos en un punto se transforman junto con los campos en la vecindad del punto.

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