Este es un truco común usado en ecuaciones diferenciales lineales con un término impulsor no homogéneo. Es más fácil manipular exponenciales complejas algebraicamente que senos y cosenos, y si tomas la parte real de la solución al final, terminas en el mismo lugar de todos modos. Una forma de pensarlo es que al reemplazar las funciones de valores reales con funciones de valores complejos, en realidad está resolviendo dos ecuaciones a la vez (una para la parte real y otra para la parte imaginaria). Debido a que la solución es lineal en x, las dos partes de la ecuación no interfieren entre sí y ambas terminan siendo soluciones válidas.

Aquí hay un poco más de detalle sobre cómo funciona:

$$\cos(\omega t)=\textrm{Re}\left(e^{i\omega t}\right)$$

$$\sin(\omega t)=\textrm{Re}\left(-ie^{i\omega t}\right)$$

dónde$Re$indica tomar la parte real.

Dado que esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal con un término impulsor armónico, la solución general es una suma de$\cos(\omega t)$y$\sin(\omega t)$, que también se puede expresar como:

$$x=x_0\cos(\omega t+\phi)$$ para alguna fase de valor real $\phi$.

Y el cálculo básico también nos da la velocidad y la aceleración:

$$v=-x_0\omega \sin(\omega t+\phi)$$

$$a=-x_0\omega^2\cos(\omega t+\phi)$$

Ahora, en este punto podríamos conectar todo esto y hacer un poco de álgebra bastante desordenada para hacer coincidir los términos de seno y coseno y así resolver para$x_0$y$\phi$. Pero hay otra manera. Supongamos que en su lugar definimos$x_0'=x_0e^{i\phi}$, una constante compleja. Entonces podemos reescribir todo esto como:

$$x=x_0\cos(\omega t+\phi)=\textrm{Re}(x_0e^{i\omega t+i\phi})=\textrm{Re}(x_0'e^{i\omega t})$$

Similarmente,

$$v=\textrm{Re}(i\omega x_0'e^{i\omega t})$$

$$a=\textrm{Re}(-\omega^2x_0'e^{i\omega t})$$

$$F=\textrm{Re}(F_0e^{i\omega t})$$

y, asumiendo que los otros parámetros en la ecuación son números reales, la ecuación completa se puede expresar como:

$$\textrm{Re}(((-m\omega^2+i\omega r+s)x_0'-F_0)e^{i\omega t})=0$$

Esto tiene que ser cierto para todos los puntos en el tiempo, por lo que podemos concluir:

$$(-m\omega^2+i\omega r+s)x_0'-F_0=0$$

Y esto nos da la amplitud compleja$x_0'$que resuelve la ecuación. ¡La ecuación diferencial con funciones trigonométricas se ha convertido en una ecuación de álgebra simple sin funciones trigonométricas en absoluto! Esta es una simplificación tan agradable que se hace casi universalmente. Si tiene curiosidad sobre cómo se usa en la práctica, lo invito a leer sobre el tema de la impedancia en la ingeniería eléctrica.

Tenga en cuenta que, como beneficio adicional, también resolvimos esta ecuación:

$$\textrm{Im}\left(((-m\omega^2+i\omega r+s)x_0'-F_0)e^{i\omega t}\right)=0$$

o en otras palabras, la parte imaginaria es cero también. Puede regresar y verificar esto, pero básicamente esto es con lo que habría terminado si hubiera elegido conducirlo con una onda sinusoidal en lugar de una onda coseno (aparte de algunos signos menos que terminan siendo intrascendentes; puede redefine ligeramente las cosas para que termines con la misma física al final) y si se usaron todas las definiciones anteriores$\rm{Im}$en lugar de$Re$.

Cuando la gente se acostumbra a este truco, lo hace implícitamente, sin molestarse nunca en escribir el$Re$operador. Se entiende que, al final, tomará la parte real para obtener la solución física real. El álgebra anterior muestra por qué puedes salirte con la tuya.

Como ejercicio, puede intentar realizar esta derivación de nuevo, pero con un$x^2$término añadido a la ecuación. ¡No funciona tan bien! Si el$x^2$término es pequeño, puede tratarlo como una perturbación que genera un pequeño efecto adicional que oscila en$2\omega$a primer orden. Esto se llama generación de segundo armónico no lineal y se usa muy a menudo en sistemas láser.

La ecuación de movimiento de un oscilador accionado es

$$m\ddot{x}+r\dot{x}+kx-F_0 \cos\omega t =0$$ Se puede reescribir como $$\textrm{Re}\left[m\ddot{x}+r\dot{x}+kx-F_0 e^{i\omega t}\right]=0$$

La idea es resolver la ecuación compleja (porque es más fácil) y luego tomar la parte real para obtener la solución deseada para la ecuación original.

Además, ¿cómo podemos hacer una solución de$x$ser$x=Ae^{i\omega t}$, en silencio no entiendo esto.

Recuerde que la solución completa de ODE es$x=x_0+x_t$, dónde$x_0$es la solución de la EDO homogénea, en tu caso

$$m\ddot{x}_0+r\dot{x}_0+kx_0=0$$ y $x_t$es una solución particular de EDO no homogénea: $$m\ddot{x}_t+r\dot{x}_t+kx_t=F_0 e^{i \omega t}$$ Encontrar $x_t$hacemos una conjetura $x_t=A e^{i\omega t}$.

TL;RD:

El uso de la función exponencial tiene profusas ventajas sobre la función trigonométrica. Presenta una visualización mucho más intuitiva del fenómeno frente a las pequeñas funciones trigonométricas. Es mucho más fácil resolver ecuaciones diferenciales usando la función exponencial que usando las funciones trigonométricas convencionales. Sin embargo, solo debe extraer la contrapartida real de$e^{i\theta}$por el fenómeno físico .

Introducción:

Suponga que está definiendo SHM en$x$-eje; como sabemos que SHM es la proyección geométrica del movimiento circular, podemos imaginar el SHM como la sombra, la proyección de un cuerpo en movimiento circular y representar el SHM como:

$$x= A\cos(\omega t+\alpha)$$ dónde$A$es el radio de la trayectoria circular y también la amplitud de SHM en$x$-eje.

Sin embargo, también hay una proyección de este movimiento circular en el$y$-eje y esto implica en$y$-eje, también va SHM representado por

$$y= A\sin(\omega t+\alpha)\;.$$

Pero conocemos este movimiento a lo largo$y$no tiene existencia real ; sin embargo, podemos proceder como si estuviéramos tratando con el movimiento de un punto en dos dimensiones. Sin embargo, al final, sólo extraemos el$x$-componente solo de este movimiento bidimensional ya que este es realmente el movimiento existente.

Necesitamos representar este movimiento bidimensional de manera que podamos distinguir fácilmente entre los componentes físicos reales e imaginarios del movimiento.

Movimiento bidimensional y uso de números complejos para distinguir el movimiento real del irreal:

El movimiento bidimensional se expresa como:

$$\mathbf r= A\cos(\omega t+\alpha)\mathbf{\hat{i}}+ A\sin(\omega t+\alpha)\mathbf{\hat{j}}\;.$$ Para reflejar el hecho de que la$\bf {\hat i}$componente es el movimiento real, modificamos la ecuación anterior como $$\mathbf r= x\mathbf{\hat{i}}+ \color{red}{\iota} y\mathbf{\hat j}\;_;$$ Inclusión de$\color{red}{\iota}$refleja el hecho de que el movimiento en$\bf{\hat j}$es irreal o imaginario .

O, más formalmente, podemos escribir

$$\mathbf r= x+ \color{red}{\iota} y$$ proporcionó$x$representa el desplazamiento en una dirección paralela a$\bf {\hat i}\;.$

Interpretación de$\color{red}{\iota}$:

Como escribe APFrench en su libro:

El término$\color{red}{\iota} y$debe leerse como una instrucción para hacer el desplazamiento$y$en una dirección paralela a$y$-eje.

$\color{red}{\iota}$es una instrucción para realizar una rotación en sentido antihorario de$90^\circ$sobre lo que precede.

• Para formar la cantidad$\color{red}{\iota}b_,$nos apartamos de la distancia$b$a lo largo de$x$-eje y luego girar a través$90^\circ$como para terminar con un desplazamiento de longitud$b$a lo largo de$\bf{\hat j}\;.$

• Para formar la cantidad$\color{red}{\iota}^2 b_,$primero formamos$\color{red}{\iota}b$y luego aplicarle otro$90^\circ$rotación. ... Pero esto conduce a la vez a una identidad importante. dos sucesivos$90^\circ$rotaciones en el mismo sentido convierten un desplazamiento$b$en el desplazamiento$-b\;.$

Por eso,$\color{red}{\iota}^2 = -1\;.$Entonces podemos representar el vector como$z= x+ \color{red}{\iota}y$dónde$x= A\cos(\omega t+\alpha)\mathbf{\hat{i}}$y$y= A\sin(\omega t+\alpha)\mathbf{\hat j}\;.$

La exponencial compleja:

Tomemos el caso del movimiento circular cuyo radio es la unidad a saber.$A= 1\;.$Por lo tanto,

$$\mathbf r= \cos(\omega t+\alpha)+ \color{red}{\iota}\sin(\omega t+\alpha)\;.$$ Usando la serie de Taylor, podemos ver que $$\mathbf r= \cos(\omega t+\alpha)+ \color{red}{\iota}\sin(\omega t+\alpha)= e^{\color{red}{\iota}(\omega t+\alpha)}\;.$$

la multiplicacion de$e^{\color{red}{\iota}\theta}$se puede describir, en términos geométricos, como una rotación positiva, a través de un ángulo$\theta$, del vector por el cual$z$puede representarse sin alteración de su longitud.

Por que usar$\color{red}{\iota}\;?$

¿Por qué debo usar la función exponencial? ¿No puedo usar solo esas funciones trigonométricas?

Bueno, todo tiene una razón.

Como afirma AP French:

La razón principal es la propiedad especial de la función exponencial: su reaparición después de cada operación de diferenciación o integración. Si, como sucede a menudo, la ecuación básica de movimiento contiene términos proporcionales a la velocidad y la aceleración, así como al propio desplazamiento, el uso de una función trigonométrica simple para describir el movimiento conduce a una mezcla incómoda de términos de seno y coseno .

También puede verificar: ¿Cuál es la ventaja de usar la función exponencial sobre la función trigonométrica en el análisis de ondas?

Solicitud:

Usando funciones trigonométricas:

$$\ddot{x} + \nu \dot x + \omega_0^2 x= 0$$

Echemos$x= Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha)$

$$\dot x= (-\gamma /2)Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha) - \omega Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha)$$ $$\begin{align}\ddot x&= (-\gamma /2)^2 Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha) + (\gamma \omega /2)Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha) - \omega^2 Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha)+ (\gamma\omega/2) Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha)\\ &= \left(\frac{\gamma^2}{4}- \omega^2\right)Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha) + 2(\gamma \omega /2)Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha) \;.\end{align}$$

Ahora, la ecuación diferencial se convierte en;

$$\left[\left(\frac{\gamma^2}{4}- \omega^2\right)- \nu \frac{\gamma}{2} + \omega_0^2\right]Ae^{-\gamma t/2} \cos(\omega t +\alpha) + [\gamma\omega -\nu\omega]Ae^{-\gamma t/2} \sin(\omega t +\alpha)= 0$$ lo que implica $$\left[\left(\frac{\gamma^2}{4}- \omega^2\right)- \nu \frac{\gamma}{2} + \omega_0^2\right]= 0\\ \gamma\omega -\nu\omega= 0$$ lo que da: $$\gamma= \nu \\ \omega = \omega_0^2-\frac{\gamma^2}{4}$$

Comentario: ¡Uf! Mis manos:/

Usando la función exponencial:

$$\ddot{x} + \gamma \dot x + \omega_0^2 x= 0$$

vamos a convertirlo en

$$\ddot{z} + \gamma \dot z + \omega_0^2 z= 0$$

Asumamos$z= Ae^{\color{red}{\iota}(pt + \alpha)}\;.$

Poniendo$z$en la ecuación obtenemos:

$$(-p^2 + \color{red}{\iota} p\gamma + \omega_0^2)Ae^{\color{red}{\iota}(pt + \alpha)}\;.$$ Esto implica: $$(-p^2 + \color{red}{\iota} p\gamma + \omega_0^2) = 0\;.$$ No se puede satisfacer si$p$es real, como$\color{red}{\iota} p\gamma$quedaría sin ser cancelado por ningún término. Por lo tanto, ponemos $$p = n+ \color{red}{\iota}s\;.$$ Poner el valor de$p^2$en la ecuación anterior, obtenemos; $$-n^2 -2n\color{red}{\iota}s + s^2 + \color{red}{\iota}n\gamma - s\gamma + \omega_0^2= 0\;.$$ Separando las partes real e imaginaria, obtenemos $$-n^2 + s^2 -s\gamma + \omega_0^2 = 0\\ -2ns + n\gamma = 0\;.$$ De esto, obtenemos; $$s= \gamma/2\\ n^2 = \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{4}\;.$$ De este modo, $$\begin{align}z(t)&= Ae^{\color{red}{\iota}(nt + \color{red}{\iota}st + \alpha)}\\& = Ae^{-st}e^{\color{red}{\iota}(nt + \alpha)}\;.\end{align}$$

Tomando la componente real, obtenemos

$$x(t)= Ae^{-\gamma t/2}\cos(\omega t+ \alpha)\;.$$

Comentario: ¿Ves? ¿Qué tan elegante y fácil es resolver la misma ecuación usando la función exponencial? Además, observe cómo, al final, solo se extrae la parte real porque es el movimiento real.