Soluciones complejas para un oscilador subamortiguado

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Soluciones complejas para un oscilador subamortiguado

ondas
Física
osciladores
sistemas lineales
números complejos
oscilador armónico

Anján

En muchos de los libros que hablan sobre el movimiento armónico simple amortiguado, el oscilador subamortiguado se trata de la siguiente manera:

La segunda ley de Newton dice
$metro \ddot{X} + r \dot{X} + s X = 0$ $m\ddot{x} + r\dot{x} + sx = 0$ donde s es la constante de rigidez, r es la constante de viscosidad y m es la masa del objeto oscilante. La solución de la ecuación diferencial es $X = C {mi}^{α t} .$ $x=Ce^{\alpha t} \, .$ Poniendo la solución anterior en la ecuación diferencial, obtenemos $α = \frac{r}{2 metro} \pm \sqrt{\frac{r^{2}}{4 {metro}^{2}} - \frac{s}{metro}} .$ $\alpha = \frac{r}{2m} \pm \sqrt{\frac{r^2}{4m^2} - \frac{s}{m}} \, .$ En el caso subamortiguado el término de la raíz cuadrada es menor que 0 y tenemos dos soluciones: $\begin{aligned} X = & {mi}^{- r t / 2 metro} {mi}^{\pm i w^{'} t} \\ dónde w^{'} = & \sqrt{\frac{s}{metro} - \frac{r^{2}}{4 {metro}^{2}}} . \end{aligned}$ $\begin{align} x =& e^{-rt/2m}e^{\pm i w't} \\ \text{where} \qquad w' =& \sqrt{\frac{s}{m} - \frac{r^2}{4m^2} } \, . \end{align}$

Después de eso, tengo dos fuentes donde toman la solución para ser

X = {mi}^{- r t / 2 metro} [A porque (ω t) + B pecado (ω t)] .

$x= e^{-rt/2m}[A \cos(\omega t)+ B \sin(\omega t)] \, .$

En una de las fuentes, RD Gregory, el autor dice

Las partes real e imaginaria de la primera solución compleja son
$X = {\begin{cases} {mi}^{- r t / 2 metro} porque (ω t) \\ {mi}^{- r t / 2 metro} pecado (ω t) \end{cases}$ $x=\begin{cases} e^{-rt/2m} \cos(\omega t) \\ e^{-rt/2m} \sin(\omega t) \end{cases}$ y estas funciones forman una base para el espacio de soluciones reales. La solución real general de la ecuación SHM amortiguada, en este caso, es por lo tanto $X = {mi}^{- r t / 2 metro} [A porque (ω t) + B pecado (ω t)] .$ $x= e^{-rt/2m}[A \cos(\omega t)+ B \sin(\omega t)] \, .$

Aquí hay otra fuente donde encontré que lo anterior es una solución.

Ahora mi confusión radica en que el autor toma tanto la parte real como la imaginaria como base para la solución "real". ¿Alguien puede explicarme cómo está la parte imaginaria en la base?

Respuestas (2)

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Vladímir Kalitvianski · Answer 1

Como la ecuación de $x$ es lineal y de segundo orden, tiene dos soluciones independientes. Puede elegir dos soluciones complejas linealmente independientes como $A\cdot exp(\text{i}\omega t)$ y $B\cdot exp(-\text{i}\omega t)$ con cualquier coeficiente (complejo en general) o dos soluciones reales, especialmente si su variable tiene un valor real. $\sin(\omega t)$ y $\cos(\omega t)$ son solo combinaciones lineales de sus exponenciales complejos. Cuando aplicas las condiciones iniciales $x(0)=x_0,\; \dot{x}(0)=v_0$ , fijarás los coeficientes $A$ y $B$ , que son arbitrarias de lo contrario. Para $\sin(\omega t)$ y $\cos(\omega t)$ los coeficientes resultantes también tendrán valores reales. Para exponenciales complejas los coeficientes resultantes serán complejos, siendo la única solución numéricamente la misma.

factura vatios · Answer 2

\begin{aligned} C 1 Exp (i ω t) + C 2 Exp (- i ω t) = & C 1 (porque (ω t) + i pecado (ω t)) + C 2 (porque (ω t) - i pecado (ω t)) \\ = & (C 1 + C 2) porque (w t) + i (C 1 - C 2) pecado (w t) \\ = & A porque (ω t) + B pecado (ω t) \end{aligned}

$\begin{align} c1 \exp(i \omega t) + c2 \exp(-i \omega t) =& c1 (\cos(\omega t)+ i \sin(\omega t)) + c2 (\cos(\omega t) - i \sin(\omega t)) \\ =& (c1+c2) \cos(w t)+i (c1 - c2) \sin(w t) \\ =& A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \end{align}$ dónde

A \equiv c 1 + c 2

$A \equiv c1 + c2$ y

B \equiv i (c 1 - c 2)

$B \equiv i(c1 - c2)$ .

Dado que la solución es de valor real, entonces complejo $c_2^*=c_1$ . Entonces $A=c_1+c_1^*=2\cdot \text{Re}(c_1)$ y $B=-2\cdot \text{Im}(c_1)$ son coeficientes reales en las soluciones reales independientes.
@VladimirKalitvianski Si resuelve mis ecuaciones c1y c2obtiene c1 = (A - i B)/2y c2 = (A + i B)/2cuáles coinciden con sus ecuaciones, aunque no estoy seguro de a qué se refiere, ya que las mías también funcionan. Perdón por la falta de LATEX, pero nunca lo había usado antes de hoy. Tal vez me mejore.

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Anján

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Vladímir Kalitvianski

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Vladímir Kalitvianski

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