¿Cómo obtener la forma "exponencial compleja" de la ecuación de onda de la "forma sinusoidal"?

Como comentó el usuario 1104, usas la identidad de Euler:

$$e^{ix} = \cos(x) + i \space \sin(x)$$

entonces:

$$\sin(kx-\omega t) = \frac{ e^{i(kx-\omega t)} - e^{-i(kx-\omega t)}}{2i}$$

Pero normalmente no procederíamos reemplazando el pecado por esta expresión. Tanto la forma del seno como la forma exponencial son soluciones matemáticamente válidas para la ecuación de onda, por lo que la única duda es su validez física. En QM no nos preocupamos por tener una solución compleja porque el observable es el módulo al cuadrado, que siempre es real.

Para una cuerda de guitarra, obviamente, la forma compleja no es físicamente válida, pero cualquier suma de soluciones a la ecuación de onda también es una solución a la ecuación de onda. Es por eso que podemos sumar (o restar) las soluciones complejas para obtener una solución real.

Respuesta al comentario:

$$e^{ix} = \cos(x) + i \space \sin(x)$$

así reemplazando$x$por$-x$da:

$$\begin{split} e^{-ix} &= \cos(-x) + i \space \sin(-x)\\ &= \cos(x) - i \space \sin(x) \end{split}$$

porque$\cos(x) = \cos(-x)$y$\sin(x) = -\sin(-x)$. entonces restando$e^{-ix}$de$e^{ix}$da:

$$\begin{split} e^{ix} - e^{-ix} &= \cos(x) + i \space \sin(x) - \cos(x) + i \space \sin(x)\\ &= 2i \space \sin(x) \end{split}$$

por lo tanto:

$$\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = \sin(x)$$

Usted preguntó acerca de la segunda ecuación. Vea abajo:

$e^{ix}{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt] {}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt] {}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt] {}= \cos x + i\sin x \ .$

Para calcular las expansiones que he usado en la ecuación anterior, debe comprender el procedimiento para encontrar las expansiones de funciones de Taylor. Este video de youtube enseña el procedimiento: http://www.youtube.com/watch?v=GUtLtRDox3c

Considere la siguiente derivada:$[\cos{x} +i\sin{x}]' = i \sin{x} - i\cos{x} = i(\cos{x} +i\sin{x})$. Seguro que parece$[e^{ix}]' = ie^{ix}$. Entonces, la pregunta desde el punto de vista de la física es por qué el comportamiento oscilatorio de$\sin$y$\cos$tan fundamentalmente conectado con el comportamiento de$\exp$gobiernan el crecimiento y la decadencia?

Una respuesta puede ser la autosimilitud:$\exp$es autosimilar, por lo que, por ejemplo, en la desintegración radiactiva, el número de desintegraciones siempre es proporcional al número de átomos presentes. Compare eso con un péndulo, donde la aceleración (cambio de velocidad) es proporcional al desplazamiento y el cambio de desplazamiento es proporcional a la velocidad.

Ambas ideas se combinan en el oscilador amortiguado, donde la parte real de una sola frecuencia compleja describe la oscilación y la parte imaginaria describe la amortiguación.

Cuando se aplica a partículas inestables, se considera la fórmula de resonancia de Breit Wigner, por lo que cuando se fabrican bariones Delta, la masa es en promedio de 1232 MeV, pero no siempre. La vida es tan corta ($5 \times 10^{-24}\ $s) que hablamos del ancho de la resonancia (~114 MeV)--con los dos conectados por el Principio de Incertidumbre de Heisenberg. (La masa impulsa la parte del oscilador de la función de onda, mientras que el ancho impulsa la caída, de modo que una frecuencia compleja unifica los dos fenómenos).