¿Depende la frecuencia angular del tiempo en el movimiento armónico amortiguado?

Un oscilador armónico amortiguado (no excitado) (que satisface$m\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x=0$) puede ser resuelto por la(s) solución(es)$x_0e^{i \omega t}$. Para un oscilador subamortiguado, estas soluciones representan oscilaciones puras mezcladas con decaimiento(/crecimiento) exponencial. Porque ambas soluciones para$\omega$oscilan con el mismo periodo, todas las combinaciones de ellos también oscilan con el mismo periodo.

Supongo que su confusión surge de una idea intuitiva de por qué una fuerza restauradora conduce a un movimiento periódico. En el caso no amortiguado, las trayectorias del espacio de fase de la partícula están cerradas (es decir, la partícula siempre vuelve a la(s) misma(s) posición(es)). En el caso amortiguado, las trayectorias giran en espiral hacia el reposo. Pero ambos movimientos son periódicos en el sentido de que alcanzan sus extremos relativos (y el cruce por cero) después de un intervalo de tiempo específico. ¿Cómo puedes ver esto? Quizás puedas inspirarte en el caso no amortiguado: observa que el período es independiente del tamaño de la órbita. Debido a que la ecuación es lineal, cualquier cambio en la amplitud se explica exactamente por un cambio en la fuerza. De hecho, todas las EDO lineales (homogéneas) pueden satisfacerse mediante el anstaz anterior (es decir, las soluciones son periódicas, amortiguadas o ambas).

Amortiguar una oscilación cambia la frecuencia de dos maneras.

Ya no se puede decir que la oscilación tiene lugar en una sola frecuencia, sino que cubre una distribución continua de frecuencias caracterizada por un perfil lorentziano , con un ancho que aumenta con el amortiguamiento.

Segundo, el pico de esta distribución ocurre a una frecuencia más baja que la frecuencia natural del sistema, en una cantidad que aumenta con el amortiguamiento.

es decir, la frecuencia no depende del tiempo.

Lo anterior se aplica a los osciladores lineales donde la fuerza de restauración y los términos de amortiguamiento dependen linealmente del desplazamiento y la velocidad, respectivamente. En los osciladores no lineales las cosas pueden ser diferentes. Se puede producir una relación entre la frecuencia y la amplitud (y, por lo tanto, el tiempo). por ejemplo, un péndulo en realidad tiene una frecuencia que disminuye con la amplitud y, por lo tanto, aumenta con el tiempo a medida que se amortigua la amplitud. Aquí hay una animación de péndulos de amplitud grande y pequeña que permite hacer una comparación.

Este péndulo simple es un ejemplo de una situación de "resorte suave", donde la fuerza de restauración se vuelve menor que una extrapolación de una relación lineal con desplazamiento (o ángulo en el caso de un péndulo) en grandes amplitudes. Para obtener una frecuencia que disminuya a medida que se amortigua la amplitud, se requiere un "resorte duro", por ejemplo, un resorte donde la fuerza de restauración varía como$\alpha x + \beta x^3$con$\alpha, \beta>0$. Estos resortes no lineales a menudo se denominan osciladores Duffing .