Operadores de escalera para una ecuación diferencial lineal general de segundo orden

Resulta que muchas de las ecuaciones diferenciales de la física matemática están estrechamente relacionadas con expresiones de invariantes de Casimir de algunos grupos de Lie expresados ​​en alguna representación apropiada. Además, la mayoría de las funciones especiales que se encuentran comúnmente en la física matemática también están simplemente relacionadas con la acción de generadores de álgebras de Lie sobre estados básicos.

Como ejemplos explícitos, la parte angular del Laplaciano en coordenadas esféricas es básicamente la$su(2)$operador casimiro$\vec L\cdot \vec L$operador en forma diferencial; la EDO de segundo orden en$\theta$La ecuación no es más que la ecuación diferencial de Legendre. De hecho, existe una conexión profunda entre las funciones especiales y las ecuaciones diferenciales comunes de la física matemática; Los detalles se pueden encontrar en los libros de texto de

• Talman [Talman, James D. Funciones especiales: un enfoque teórico grupal. (1968)],
• Vilenkin [Vilenkin, Naum Iakovlevich. Funciones especiales y la teoría de las representaciones de grupo . vol. 22. American Mathematical Soc., 1978] o
• Miller [Miller, Willard. Teoría de la mentira y funciones especiales (1968)].

Si el álgebra subyacente (o grupo) es una de las álgebras semisimples, entonces se puede invocar toda la maquinaria de subir y bajar operadores, con estos operadores mapeándose directamente a operadores de escalera generalizados. Incluso si el álgebra no es semi-simple (como, por ejemplo, las álgebras euclidianas) es bastante posible definir operadores ascendentes y descendentes, aunque se requiere algo de delicadeza y existen problemas técnicos.

Por ejemplo, en el caso de$e(2)$, uno puede definir "estados de peso"$\vert m\rangle$que son estados propios del generador de rotación$\hat L_z$. Los dos generadores de traslación en el plano se pueden arreglar como$p_+$y$p_-$de modo que$p_\pm \vert m\rangle\propto \vert m\pm 1\rangle$.

A priori no hay necesidad de hermiticidad. Si el álgebra subyacente (o grupo) es compacto, entonces los irreps de dimensión finita son equivalentes a representaciones unitarias, de modo que$\Gamma(A_+)$puede estar relacionado con$\Gamma(A_-)$. Este elegante artículo da ejemplos de dimensiones finitas, representaciones no unitarias pero indescomponibles de$e(2)$para cual$p_+$y$p_-$actúan como operadores de subida y bajada para los cuales la representación matricial de$p_+$no tiene relación con la de$p_-$. Por supuesto esto está ligado a la falta de unitaridad en la representación.

(Si cree que las representaciones indescomponibles están fuera de los límites, consulte el último artículo de Dirac antes de fallecer, llamado "El futuro de la física atómica" , en el que Dirac aboga por una mayor atención a las representaciones indescomponibles. Las representaciones indescomponibles se investigaron en el contexto de partículas inestables en este documento Raczka, R. "Una teoría de partículas inestables relativistas" Ann. D. IHP A 19 (1973): 341.

Los operadores hermitianos , como los hamiltonianos que has mencionado, tienen la propiedad de admitir valores propios reales con funciones propias ortogonales. Los operadores de escalera son simplemente los operadores que lo llevan de una función propia a una función propia vecina. Así que cualquier operador hermitiano también admitirá operadores de escalera.

Es importante tener en cuenta que la ecuación diferencial general de segundo orden que ha mencionado puede no ser hermítica, y si el operador en cuestión no es hermético, es posible que no exista un conjunto completo de funciones propias que abarque el rango de soluciones. Sin embargo, la descomposición en un conjunto de funciones de base ortonormal y el uso de operadores de escalera a menudo pueden ser numéricamente útiles incluso para operadores no hermitianos.

Además de sus muchas aplicaciones prácticas, también existen profundas conexiones entre los operadores de escalera y la teoría de grupos, que dejaré para las referencias.

Aquí hay algunos ejemplos de operadores de escalera utilizados fuera de su alcance normal:

Funciones de Laguerre generalizadas,${\bf su}(1,1)$

armónicos esféricos,${\bf so}(2,1)$y${\bf so}(3,2)$