Los efectos de la condición inicial en la función de Green

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Los efectos de la condición inicial en la función de Green

Física
sistemas lineales
greens-funciones
ecuaciones diferenciales

Arash

En la literatura, para probar la existencia de la función de Green para sistemas lineales, se argumenta que si para una ecuación diferencial lineal como

$\mathcal{D}[y] = \sum_{n=0}^N {a_n y^{(n)}}$

$y(0)=y_0, \hspace{1cm} y'(0)=y_1, \hspace{1cm} ... \hspace{1cm}y^{N-1}(0)=y_{N-1}$

si conocemos la respuesta de la entrada delta $\delta(t-t_0)$ podemos construir la respuesta para una entrada arbitraria dependiente del tiempo y aquí está el esquema de la prueba:

Suponiendo que conocemos una función $g(t,t')$ esa es la respuesta de la ecuacion

$\mathcal{D}[g] = \sum_{n=0}^N {a_n g^{(n)}} = \delta(t-t')$

y satisface todas las condiciones de contorno, entonces, para cualquier entrada arbitraria, ya que $f(t) = \int{f(t')\delta(t-t')dt'}$ podemos decir usar la linealidad de $\mathcal{D}$ y decir

$\mathcal{D}\big[\int{f(t')g(t,t')dt'}\big] = \mathcal{D}\big[y(t)] =\int{f(t')\delta(t-t')dt'} =f(t)$

Hasta aquí, todo está claro, pero no veo cómo la condición inicial afectará la respuesta. $y(t)$ . En otras palabras, creo que para una respuesta completa debemos enunciar la siguiente expresión:

$y(0) = \int_{0}^{\infty}{g(0,t')f(t')dt'}=y_0$

$y'(0) = \int_{0}^{\infty}{g'(0,t')f(t')dt'}=y_1$

$y''(0) = \int_{0}^{\infty}{g''(0,t')f(t')dt'}=y_2$

$...$

Estas restricciones adicionales, que son forzadas por las condiciones iniciales, nunca se discuten si las condiciones iniciales son distintas de cero (si todas ellas son cero, estas ecuaciones se cumplirán automáticamente).

Ahora, estoy totalmente confundido, porque estas restricciones imponen algún tipo de normalización sobre la función. $f$ y $g$ que no tiene sentido. Agradezco cualquier ayuda que explique las últimas expresiones, su intuición y la forma en que las personas lidian con eso.

Vladímir Kalitvianski

Estas no son restricciones para

f (t)

$f(t)$ , sino para definir de forma única

g

$g$ de modo que no solo se cumple la ecuación, sino también las condiciones iniciales.

Arash

Tienes razón porque el

f (t)

$f(t)$ es ciertamente arbitrario. Sin embargo, mi problema aún tiene @Vladimir

Vladímir Kalitvianski

Sin imponer algunas condiciones iniciales a

g

$g$ , la función de Green tendrá

N

$N$ constantes arbitrarias de integración debido a que el orden de la ecuación diferencial es

N

$N$ . Conducirá a condiciones iniciales arbitrarias para

y

$y$ y sus derivados, si

y

$y$ se expresa a través de

f

$f$ y

g

$g$ . Así, para obtener un conjunto dado de condiciones iniciales, uno tiene que imponerlas a

g

$g$ . Mira a

g

$g$ como en una solución de su ecuación.

Arash

Entonces, ¿está sugiriendo que las condiciones iniciales debían usarse únicamente para determinar

g

$g$ y no por la respuesta de entrada arbitraria

y (t)

$y(t)$ ?

Vladímir Kalitvianski

Todo lo contrario: en cuanto expresas

y

$y$ a través de

g

$g$ , significa especificar las condiciones iniciales para

y

$y$ . Mira, la ecuación diferencial puede tener muchas soluciones, dependiendo de las condiciones iniciales. o tu construyes

y

$y$ directamente, ya sea a través de

g

$g$ , tendrá la misma arbitrariedad sin aplicar las condiciones iniciales.

qmecanico

¿Qué literatura?

Arash

bueno, solo leí un par de libros que visitan una parte de este problema. Por ejemplo, la Mecánica Clásica de Marion resuelve un ejemplo con condición inicial cero cuando se trata de la función de Green, al igual que la Dinámica Neuronal de Grestner y la Física Matemática de Sadri Hassani. Aunque el último ataca problemas de BC no cero pero no el IVP.

Respuestas (1)

Los efectos de la condición inicial en la función de Green

Estas no son restricciones para $f(t)$ , sino para definir de forma única $g$ de modo que no solo se cumple la ecuación, sino también las condiciones iniciales.
Tienes razón porque el $f(t)$ es ciertamente arbitrario. Sin embargo, mi problema aún tiene @Vladimir
Sin imponer algunas condiciones iniciales a $g$ , la función de Green tendrá $N$ constantes arbitrarias de integración debido a que el orden de la ecuación diferencial es $N$ . Conducirá a condiciones iniciales arbitrarias para $y$ y sus derivados, si $y$ se expresa a través de $f$ y $g$ . Así, para obtener un conjunto dado de condiciones iniciales, uno tiene que imponerlas a $g$ . Mira a $g$ como en una solución de su ecuación.
Entonces, ¿está sugiriendo que las condiciones iniciales debían usarse únicamente para determinar $g$ y no por la respuesta de entrada arbitraria $y(t)$ ?
Todo lo contrario: en cuanto expresas $y$ a través de $g$ , significa especificar las condiciones iniciales para $y$ . Mira, la ecuación diferencial puede tener muchas soluciones, dependiendo de las condiciones iniciales. o tu construyes $y$ directamente, ya sea a través de $g$ , tendrá la misma arbitrariedad sin aplicar las condiciones iniciales.
bueno, solo leí un par de libros que visitan una parte de este problema. Por ejemplo, la Mecánica Clásica de Marion resuelve un ejemplo con condición inicial cero cuando se trata de la función de Green, al igual que la Dinámica Neuronal de Grestner y la Física Matemática de Sadri Hassani. Aunque el último ataca problemas de BC no cero pero no el IVP.

Arash · Answer 1

Gracias a las pistas y con un poco de investigación, encontré lo que estaba buscando en el libro de Física Matemática de Sadri Hassani . Trato de explicar paso a paso.

En primer lugar, dado que la ODE es no homogénea y también tiene valores iniciales no homogéneos, la convención es (gracias a la linealidad) descomponerla en dos funciones $y_h$ y $y_i$ que son la respuesta homogénea y no homogénea del problema respectivamente. Con respecto a esta descomposición, también tenemos que cuidar los valores iniciales.

Aquí viene la segunda convención que abarca los valores iniciales. Solicitamos que los valores iniciales para $y_i$ ser cero (homogéneo) pero distinto de cero (no homogéneo) para $y_h$ .

Así que el problema original de

$\mathcal{D}[y(t)] = \delta(t-t_0)\ ;\hspace{2cm} \ y^{(n)}(0) = y_{n} \hspace{1cm} \forall n=0, ...,N-1$

se transforma en encontrar un $y_h$ y $y_i$ tal que $y=y_h+y_i$ y

$\mathcal{D}[y_h(t)] = 0\ ;\hspace{3.3cm} \ y^{(n)}(0) = y_{n} \hspace{0.8cm} \forall n=0, ...,N-1$ $\mathcal{D}[y_i(t,t_0)] = \delta(t-t_0)\ ;\hspace{1.5cm} \ y^{(n)}(0) =0 \hspace{1cm} \forall n=0, ...,N-1$

El primer problema es sencillo. Uno puede resolver la ecuación característica para obtener las potencias de los términos exponenciales y resolver un sistema lineal para encontrar los coeficientes que hacen la solución general de $y_h(t)$ ajustar los valores iniciales. Tenga en cuenta que el $y_h(t)$ es una función de $t$ solo.

El segundo se puede resolver gracias a la magia de la función Green. es decir, podemos buscar un $g(t,t')$ eso satisface la segunda expresión, que en la práctica es mucho más simple que lo que mencioné en la pregunta que satisfaría todas las condiciones iniciales. Suponiendo que somos capaces de encontrar tal $g$ , podemos escribir el $y_i$ como a continuación:

$y_i (t) = \int_{0}^{\infty}{f(t') g(t,t') dt'}$

y desde ahora $g(0,t'), g'(0,t'), g''(0,t'), ...$ son todos cero, $y_i$ y todas las derivadas son cero, de acuerdo con la ecuación anterior.

PD: Estaba más interesado en una rutina general que, para cualquier condición inicial/límite, usando la técnica de función de Green, produce la respuesta general para una entrada arbitraria. Esta receta, aunque funciona para este problema específico, está muy bien diseñada y creo que puede no ser el caso más general. La razón por la que no encontré esta receta general es que la descomposición que hice en primer lugar, puede no ser útil para otros casos.

Y para mostrar lo que quiero decir con un caso general, prefiero plantear el siguiente problema. Suponga el mismo problema pero esta vez con condiciones de contorno en lugar de valores iniciales:

$\mathcal{D}[y(x)] = \sum_{n=0}^N {a_n y^{(n)}(x)} = f(x)$

$y(x_0)=y_0, \hspace{1cm} y(x_1)=y_1, \hspace{1cm} ... \hspace{1cm}y(x_{N-1})=y_{N-1}$

¿Somos capaces de construir la respuesta usando maquinaria similar? ¿Qué sucede si los BC contienen derivados (ya sean de primer orden o superiores)?

PD: Todavía no he pensado en ellos, pero agradezco si alguien me presenta una referencia sobre ellos en los comentarios.

Los efectos de la condición inicial en la función de Green

Arash

Vladímir Kalitvianski

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Arash

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