¿Cómo calcular las frecuencias amortiguadas de un sistema lineal?

Estoy lidiando con un problema de vibración. El sistema es libre de oscilar y sus matrices de masa, rigidez y amortiguamiento son

METRO = [ 60 23.5 0 23.5 15.996 0 0 0 3.507 ]
k = [ 600000 117500 0 117500 117010.4 − 2000 0 − 2000 2000 ]
C = [ 600 117.5 0 117.5 319.01 − 200 0 − 200 200 ]
Las tres matrices no son diagonalizables simultáneamente, por lo que el análisis modal clásico da una idea superficial del problema. Las frecuencias naturales del sistema no amortiguado asociado son
ω norte = { 143.078 82.2742 23.6099 }
A través de FFT puedo ver el espectro de frecuencias pero me gustaría tener un enfoque más analítico. Sé cómo desacoplar ecuaciones de movimiento mediante un análisis modal complejo, pero todavía no entiendo cómo obtener las frecuencias amortiguadas.

Para ser claros, ¿cómo sería la ecuación diferencial? Algo como esto: METRO X → ¨ = − k X → − C X → ˙ ?
@fibonatic sí exactamente [ METRO ] X ¨ + [ C ] X ˙ + [ k ] X = 0 , y es un sistema de tres grados de libertad

Respuestas (1)

Puede escribir la ecuación diferencial como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden,

(1) d d t y = A   y ,

dónde,

(2) y = [ X → X → ˙ ] ,

y

(3) A = [ 0 I − METRO − 1 k − METRO − 1 C ] .

Las frecuencias amortiguadas de este sistema se pueden calcular a partir de los valores propios de A .

esto no resuelve el problema, me temo, el sistema no está amortiguado proporcionalmente, por lo que los valores propios de A son complejos
Los valores propios complejos de @gravinozzo (que ocurren en pares conjugados) implican frecuencias propias subamortiguadas. Mientras que los valores propios completamente reales implican sobreamortiguación (o amortiguación crítica si el valor propio tiene una multiplicidad de dos).
ok, pero ¿cómo los visualizo gráficamente? El sistema es real, necesito ver algunos números reales para entenderlo mejor
@gravinozzo Un par de valores propios complejos conjugados ( λ 1 y λ 2 ) se puede convertir en la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento usando: ω norte = λ 1 λ 2 , ζ = λ 1 + λ 2 − 2 λ 1 λ 2 . Cabe señalar que solo si el par de valores propios tiene una parte imaginaria distinta de cero, entonces el coeficiente de amortiguamiento será menor que 1, por lo que estará subamortiguado (y la frecuencia amortiguada es solo la parte imaginaria de los valores propios).
@gravinozzo "Me temo que el sistema no está amortiguado proporcionalmente, por lo que los valores propios de A son complejos", sí, esa es la solución. Cada valor propio complejo contiene información sobre la frecuencia y su relación de amortiguamiento. En general, las formas modales también son complejas, es decir, en cada modo, los grados de libertad en el modelo se mueven con diferentes amplitudes y diferentes fases , a diferencia de una estructura no amortiguada.
Muchas gracias a todos, ahora lo entiendo mejor. Ahora tengo las frecuencias amortiguadas, dos de ellas son menores que su contraparte no amortiguada, una de ellas es un poco mayor. pensé que ellos h a d ser menos
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