¿Cuál es el significado de la constante de fase en la ecuación del movimiento armónico simple?

la ecuacion que dices

$$x=Asin(\omega t+\phi)$$ describe el movimiento de desplazamiento de un oscilador armónico lineal pasivo sin pérdida. En otras palabras, no hay entrada o función de conducción. Cualquier movimiento que exhiba el oscilador se debe únicamente a sus condiciones iniciales. $\phi$en este caso proporciona un punto de referencia en el espacio para las oscilaciones.

Pero para el oscilador accionado,$\phi$proporciona un papel más importante en términos de la eficiencia con la que se transfiere la energía del controlador al oscilador (sistema). Si la fuerza impulsora está en perfecta fase con el sistema y apunta en la dirección correcta, la energía máxima se transfiere a la frecuencia de resonancia armónica. Cualquiera de los lados de este punto se adelanta o se retrasa, lo que disminuye la eficiencia de la transferencia de energía.

Todo lo que hace el ángulo de fase es darle una facilidad para decidir sobre el desplazamiento de la partícula que experimenta shm en el tiempo$t=0$o en cualquier otro momento.

Con su ángulo de fase de$\phi$, suponiendo que sea positivo, las gráficas de$x_1 = a \sin (\omega t)$(gris) y$x_2= A \sin (\omega t + \phi)$(rojo) se muestran a continuación.

En este caso el movimiento$x_2$se adelanta al movimiento de$x_1$por un tiempo$t$(mostrado en el diagrama) o un ángulo de fase de$\phi= \dfrac t T 2 \pi$dónde$T$es el periodo del movimiento e igual a$\dfrac {2 \pi}{\omega}$.

Así que todo lo que partícula con desplazamiento$x_2$¿La partícula con desplazamiento$x_1$hace un tiempo$t$más tarde.

La ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple es

$$\ddot x+\omega^2 x=0$$

y la solución más general a esto es

$$x(t) = A_1 \cos \omega t + A_2 \sin \omega t$$

Tenga en cuenta que hay dos constantes de integración que corresponden a que la ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden. Más físicamente, la velocidad está dada por

$$v(t) = - \omega A_1 \sin \omega t + \omega A_2 \cos \omega t$$

y las dos constantes de integración están fijadas por la configuración del sistema en un momento dado. Dicho de otra manera, si conoce la posición y la velocidad en el momento$t_0$puedes resolver para$A_1$y$A_2$. Deberías hacer eso como un ejercicio.

Ahora tenga en cuenta que la expresión que tiene se puede escribir como

$$x(t) = A \sin \phi \cos \omega t + A \cos \phi \sin \omega t$$

y por lo tanto puedes relacionar$A$y$\phi$a$A_1$y$A_2$y de allí a la posición y velocidad en el tiempo$t_0$.

En la ecuación básica de SHM, obtienes x=Asin(ωt) donde en t=0, el objeto está en la posición media o desplazamiento cero. Ahora, ¿cuál es el significado del ángulo dentro de la función seno? Te da la posición de la partícula que realiza SHM. Cuando el ángulo es π/2, el desplazamiento es máximo, es decir, A. Cuando es π, el desplazamiento vuelve a ser 0. Entonces, para la ecuación Asin(ωt+ϕ), simplemente significa que el MAS no comienza en x =0 y la posición en t=0 es Asin(ϕ) (dependiendo del valor de ϕ podría ser A,A/2 cualquier cosa).

Si la posición inicial es S, entonces ϕ=sin^-1 (S/A)

¿Cuál es el significado de$\phi$?

El ángulo de fase$\phi$representa la relación entre el desplazamiento y la velocidad del oscilador armónico simple en el punto en el tiempo designado arbitrariamente como$t=0$. En particular,

$$\tan\phi = \omega \frac{x(0)}{v(0)}$$ El momento en el que $t$es cero es completamente arbitrario. Con un eje de tiempo diferente dado por $t' = t-t_0$, el estado del SHO se puede expresar como $x(t) = A \sin(\omega t' + \phi')$, dónde $\phi' = \phi + \omega t_0$.

Basándose en un punto planteado por @docscience, esta respuesta aborda la fase en términos de "condiciones iniciales" introducidas por las fuerzas motrices. De hecho, uno puede pensar que esto responde a cómo se puso en marcha el SHO en primer lugar.

La posición de un oscilador armónico simple en el tiempo$t$esa fuerza experimentada en el tiempo$t'$y que estaba en reposo en el pasado lejano

$$\lim_{t\to -\infty} x(t)=0 \\ \lim_{t \to -\infty} \dot x(t)=0$$

es dado por

$$x(t) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{\omega} \sin (\omega (t-t')) f(t')$$

Esto se obtuvo utilizando la función de Green retardada para cuyos detalles SHO se pueden encontrar en otros lugares, pero se puede verificar que esto satisface la ecuación de movimiento SHO.

(1) Para el caso más simple, tomemos el caso de un pulso de fuerza en el tiempo$t'=t_0$entonces obtenemos

$$x(t) = \frac{1}{\omega} \sin(\omega( t- t_0)) \Theta(t-t_0)$$ dónde $\Theta(t-t_0)$es la función de paso Heavyside. Así vemos que el oscilador está en reposo durante $t<t_0$y después de eso la 'fase' es $-\omega t_0$.

(2) Ahora tomemos el caso de dos pulsos a veces$t_0$y$t_1$con amplitud$f_0$y$f_1$es decir

$$f(t)=f_0 \delta(t-t_0) + f_1 \delta(t-t_1)$$

con$t_1>t_0$. Es fácil ver que la solución es

$$x(t)=\frac{f_0}{\omega} \sin(\omega( t- t_0)) \Theta(t-t_0) + \frac{f_1}{\omega} \sin(\omega( t- t_1)) \Theta(t-t_1)$$

Aquí es donde vemos claramente el significado de fase: Si tomamos$f_1 = f_2$entonces vemos que es posible elegir$t_0$y$t_1$de manera que los dos pulsos estén "en fase" y la amplitud se duplique o "fuera de fase" de modo que la amplitud se cancele y el segundo pulso simplemente detenga el SHO. Estos corresponden a$\omega(t_1- t_0)=2 n \pi$y$\omega(t_1-t_0)=n\pi$para$n$un entero impar.