¿Cuál es la diferencia entre la invariancia manifiesta de Lorentz y la invariancia canónica de Lorentz?

La simetría manifiesta de Lorentz significa que uno puede ver la invariancia de Lorentz directamente a partir de la forma en que se formula la teoría; normalmente cuando el espacio y el tiempo se tratan en pie de igualdad como componentes de un cuadrivector. En estos casos, los generadores de grupos de Lorentz se representan de una manera simple (de ahí la simetría ''manifiesta''), pero es mucho menos trivial encontrar un espacio de Hilbert correspondiente de vectores de estado en el que el 4-vector de energía-momento que interactúa hechos.

Sin embargo, una teoría puede ser invariante de Lorentz de una manera más indirecta, como en el formalismo canónico, donde se especifica directamente un espacio de Hilbert y un hamiltoniano asociado. Luego, la invariancia de Lorentz se establece probando la existencia (entonces mucho menos trivial) de 6 generadores que satisfacen las relaciones de conmutación para los generadores de Lorentz, de modo que el hamiltoniano que interactúa y los generadores de momento libre se transforman conjuntamente como un 4-vector.

La formulación canónica se basa en un marco hamiltoniano que requiere la definición de una coordenada de tiempo. Entonces, todas las cantidades que calculas dependen de esta elección de tiempo, por lo que no es obvio que todo sea invariante de Lorentz.

Las integrales de trayectoria respetan la invariancia de Lorentz de principio a fin, ya que se basan en un marco lagrangiano.

En las teorías invariantes de Lorentz:

• La densidad lagrangiana es un escalar de Lorentz .

• El hamiltoniano es el generador de traslaciones de tiempo (como dice correctamente Jerry Schirmer, se necesita una variable de tiempo específica para empezar) y, por lo tanto, se transforma como el componente cero de un vector de cuatro . Y es menos obvio decir si una cantidad es un componente cero de un vector de cuatro que decir si es un escalar. La mejor manera de decir si una teoría de campo con un hamiltoniano dado es invariante de Lorentz es calcular los conmutadores (o corchetes de Poisson si la teoría es clásica) del hamiltoniano con los generadores de impulso y momento angular para comprobar si cierran el álgebra de Lorentz. .