Conexión entre carga conservada y el generador de una simetría.

Question

Conexión entre carga conservada y el generador de una simetría.

Física
simetría
teorema de noethers
formalismo lagrangiano
teoría cuántica de campos
formalismo hamiltoniano

Jak

Estoy tratando de entender un poco mejor la conexión entre las cargas de Noether y los generadores de simetría. En el libro de Schwartz QFT , capítulo 28.2, afirma que la carga de Noether $Q$ genera la simetría, es decir, es idéntico al generador del grupo de simetría correspondiente. Su derivación de esto es la siguiente: Considere la carga de Noether

q = \int d^{3} X j_{0} (X) = \int d^{3} X \sum_{metro} \frac{d L}{d {\dot{ϕ}}_{metro}} \frac{d ϕ_{metro}}{d α}

$\begin{equation} Q= \int d^3x J_0(x) = \int d^3 x \sum_m \frac{\delta L}{\delta \dot \phi_m} \frac{\delta \phi_m}{\delta \alpha} \end{equation}$

que es en QFT un operador y usa la relación de conmutación canónica

[ϕ_{metro} (X), π_{norte} (y)] = i d (X - y) d_{metro norte},

$[ \phi_m(x) ,\pi_n(y)]=i \delta(x-y)\delta_{mn},$ con

π_{m} = \frac{δ L}{δ {\dot{ϕ}}_{m}}

$\pi_m=\frac{\delta L}{\delta \dot \phi_m}$ podemos derivar

[q, ϕ_{norte} (y)] = - i \frac{d ϕ_{norte} (y)}{d α} .

$\begin{equation} [Q, \phi_n(y)] = - i \frac{\delta\phi_n(y)}{\delta \alpha}. \end{equation}$

De esto concluye que ahora podemos ver que " $Q$ genera la transformación de simetría".

¿Alguien puede ayudarme a entender este punto, o conoce alguna otra explicación de por qué podemos escribir para una transformación de simetría? $e^{iQ}$ , con $Q$ la carga de Noether (que, por supuesto, es equivalente a la afirmación de que Q es el generador del grupo de simetría)?

Para elaborar un poco sobre lo que estoy tratando de entender: dada una simetría del Lagrangiano, digamos la invariancia de traducción, que se genera, en la representación dimensional infinita (representación de campo) por operadores diferenciales $\partial_\mu$ . Usando el teorema de Noether podemos derivar una corriente conservada y una cantidad conservada en el tiempo, la carga de Noether. Esta cantidad se da en términos de campos/el campo. ¿Por qué se nos permite identificar el generador de la simetría con esta carga de Noether?

Cualquier idea sería muy apreciada

minero ciego

Hola Jakob, encontré un término adicional

\int d^{3} x \sum_{m} π_{m} (x) [\frac{δ ϕ_{m} (x)}{δ α}, ϕ_{n} (y)]

$\int d^{3} \mathbf{x} \sum_{m} \pi_m(\mathbf{x})[\frac{\delta\phi_m(\mathbf{x})}{\delta\alpha},\phi_n(\mathbf{y})]$ al evaluar

[Q, ϕ_{n} (y)]

$[Q, \phi_n(\mathbf{y})]$ . ¿Cómo argumentarías que esto es cero? Muchas gracias por su ayuda.

AccidentalFourierTransformar

véase también Cargas conservadas y generadores .

Respuestas (2)

Conexión entre carga conservada y el generador de una simetría.

Hola Jakob, encontré un término adicional $\int d^{3} \mathbf{x} \sum_{m} \pi_m(\mathbf{x})[\frac{\delta\phi_m(\mathbf{x})}{\delta\alpha},\phi_n(\mathbf{y})]$ al evaluar $[Q, \phi_n(\mathbf{y})]$ . ¿Cómo argumentarías que esto es cero? Muchas gracias por su ayuda.

nefente · Answer 1

Considere un elemento $g$ del grupo de simetría. Decir $g$ está representado por un operador unitario en el espacio de Hilbert

T_{gramo} = Exp (t X)

$T_g = \exp(tX)$ con generador

X

$X$ y algún parámetro

t

$t$ . Actúa sobre un operador.

ϕ (y)

$\phi(y)$ por conjugación

(gramo \cdot ϕ) (y) = T_{gramo}^{- 1} ϕ (y) T_{gramo} = {mi}^{- t X} ϕ (y) {mi}^{t X} = [1 + t [X, \cdot] + O (t^{2})] ϕ (y)

$(g\cdot\phi)(y) = T_g^{-1}\phi(y) T_g = e^{-tX}\phi(y) e^{tX} = \big[ 1 + t[X,\cdot]+\mathcal{O}(t^2)\big]\phi(y)$ Por otra parte la variación de

ϕ

$\phi$ se define como la contribución de primer orden bajo la acción del grupo, por ejemplo

gramo \cdot ϕ = ϕ + \frac{d ϕ}{d t} t + O (t^{2})

$g\cdot\phi = \phi + \frac{\delta \phi}{\delta t}t+\mathcal{O}(t^2)$ Dado que en física nos gusta que los generadores sean hermitianos, en lugar de antihermitianos, uno envía

X \mapsto i X

$X\mapsto iX$ y establece

[X, ϕ] = - i \frac{d ϕ}{d t}

$[X,\phi] = -i\frac{\delta \phi}{\delta t}$

Además, esta respuesta y los enlaces que contiene deberían ayudarlo más.

¡Gracias! Sobre cosas pequeñas/grandes que no entiendo: ¿Por qué el elemento de grupo actúa sobre un operador? $\phi(y)$ , por conjugación?
Mi primera conjetura sería que esto se debe a que miramos $\phi$ en la representación adjunta. Esto significaría que $\phi$ vive en el espacio tangente por encima de la identidad, es decir $T_e$ , que es el espacio en el que viven los generadores (= el álgebra de Lie). El producto natural de este espacio es el conmutador. Si consideramos la representación adjunta del grupo, asignamos cada elemento a un operador lineal en $T_e$ . La acción de cada elemento del grupo viene dada por el conmutador. $g \circ \phi = [g,\phi] \approx i [X, \phi]$ , que está cerca, pero desafortunadamente no es exactamente lo que escribiste
Confundí algunos puntos... Por supuesto, hay dos mapas, uno para el grupo y otro para el álgebra de Lie, ambos en el espacio de Operadores lineales en $T_e$ : $\mathrm{Ad}_g(X) = gX g^{-1}, \qquad \mathrm{ad}_X(Y) = [X,Y]$ . Por lo tanto, mi pregunta es únicamente, ¿por qué el campo $\phi$ vive en el álgebra de Lie, es decir $\phi \in T_e$ . Entonces está claro, porque el único homomorfismo posible para el grupo en su propio álgebra de Lie está dado por $Ad_g$ como se definió anteriormente, y la acción de $g$ en $\phi$ se da por conjugación.
@JakobH Perdón por responderte hace un momento. El campo $\phi$ es un operador lineal en Fockspace. Como de costumbre, los representantes del grupo. actuar sobre los estados como $T_g\vert \varphi \rangle$ y sobre operadores como trafo de semejanza por conjugación $T_g^{-1} \phi T_g$ . No creo que haya más. Aunque, los campos de calibre se transforman bajo la representación adjunta. Desafortunadamente, mi conocimiento en este asunto es incompleto, aunque planeo ponerme al día :)
¡Muchas gracias por tu ayuda! Me preguntaba si es posible derivar de $q = \int d^{3} X j_{0} (X) = \int d^{3} X \sum_{metro} \frac{d L}{d {\dot{ϕ}}_{metro}} \frac{d ϕ_{metro}}{d α}$ $\begin{equation} Q= \int d^3x J_0(x) = \int d^3 x \sum_m \frac{\delta L}{\delta \dot \phi_m} \frac{\delta \phi_m}{\delta \alpha} \end{equation}$ usando $[X,\phi] = -i\frac{\delta \phi}{\delta t}$ $\to q = i \int d^{3} X \sum_{metro} \frac{d L}{d {\dot{ϕ}}_{metro}} [X, ϕ_{metro}]$ $\begin{equation} \rightarrow Q= i \int d^3 x \sum_m \frac{\delta L}{\delta \dot \phi_m} [X,\phi_m] \end{equation}$ que $Q=X$ sin utilizar el conmutador canónico. De todos modos, su respuesta y comentario responden perfectamente a mi pregunta original.

gabor · Answer 2

Me gustaría hacer una adición a la respuesta de Nephente, porque lo preguntaste en tu comentario, y también creo que esto también es parte de la imagen completa aquí.

¿Por qué el elemento de grupo actúa sobre un operador? $\phi$ , por conjugación?

Esta no es de ninguna manera una respuesta matemáticamente estricta, pero aún se puede hacer una.
Considere nuestro $\phi$ actúa sobre un estado $|\varphi\rangle$ .

| ψ ⟩ = ϕ | φ ⟩ .

$|\psi\rangle = \phi|\varphi\rangle.$ Digamos que nuestro operador de simetría está representado por lo siguiente, que es la misma operación en todos los estados.

| φ^{'} ⟩ = T_{gramo}^{- 1} | φ ⟩, | ψ^{'} ⟩ = T_{gramo}^{- 1} | ψ ⟩ .

$|\varphi'\rangle = T_g^{-1}|\varphi\rangle,\\ |\psi'\rangle = T_g^{-1}|\psi\rangle.$ De esto, podemos deducir (insertando

1 = T_{g} T_{g}^{- 1}

$\mathbb{1} = T_g\ T_g^{-1}$ ), que

| ψ^{'} ⟩ = \underset{A}{\underset{⏟}{T_{gramo}^{- 1} ϕ T_{gramo}}} \underset{| φ^{'} ⟩}{\underset{⏟}{T_{gramo}^{- 1} | φ ⟩}} .

$|\psi'\rangle = \underbrace{T_g^{-1} \phi\ T_g\ }_{A}\underbrace{T_g^{-1} |\varphi\rangle}_{|\varphi'\rangle}.$ Podemos ver de esto, que

A

$A$ es como esperamos los transformados

ϕ

$\phi$ comportarse para

| φ^{'} ⟩

$|\varphi'\rangle$ ,

| ψ^{'} ⟩

$|\psi'\rangle$ . Porque esto es cierto para

\forall | φ ⟩

$\forall|\varphi\rangle$ ,

\forall g

$\forall g$ para una dada

ϕ

$\phi$ , podemos concluir que

ϕ^{'} = T_{gramo}^{- 1} ϕ T_{gramo} .

$\phi' = T_g^{-1}\phi\ T_g.$

(Tenga en cuenta que creo que cuando Nephante escribió, que $T_g$ es cómo se representa el operador de simetría en el espacio de Hilbert, realmente quiso decir que es $T_g^{-1}$ , porque luego afirma que los operadores transforman por $T_g^{-1}\phi\ T_g$ .)

Conexión entre carga conservada y el generador de una simetría.

Jak

minero ciego

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