Grupo de simetrías de las ecuaciones de Lagrange

Aquí sistemas hamiltonianos en paquetes cotangentes$(T^{*}M, \omega_M, H)$de un múltiple$M$será considerado.

Una simetría del sistema hamiltoniano es un difeomorfismo que conserva 1) la estructura de fibra cotangente, 2) la forma simpléctica canónica$\omega_M$y 3) el hamiltoniano$H$.

Se requiere una simetría puntual (o de Noether) del Lagrangiano además de ser generada por un campo vectorial en$M$cuya elevación canónica a$T^{*}M$genera una simetría hamiltoniana.

El grupo de simplectomorfismo solo se requiere para conservar la forma simpléctica y no está asociado a un hamiltoniano específico, por lo que es el grupo más grande y en general de dimensión infinita.

0) Supongamos, por simplicidad, que la transformación de Legendre de la formulación lagrangiana a hamiltoniana es regular.

1) La acción lagrangiana$S_L[q]:=\int dt~L$es invariante bajo el grupo de difeomorfismos de dimensión infinita del$n$-espacio de posición dimensional (generalizado)$M$.

2) La acción hamiltoniana$S_H[q,p]:=\int dt(p_i \dot{q}^i -H)$es invariante (hasta los términos de frontera) bajo el grupo de dimensión infinita de simplectomorfismos de la$2n$-espacio de fase dimensional$T^*M$.

3) El grupo de difeomorfismos del espacio de posición puede prolongarse en un subgrupo dentro del grupo de simplectomorfismos. (Pero el grupo de simplectomorfismo es mucho más grande). Lo anterior está expresado en la imagen activa. También podemos reformularlo en la imagen pasiva de las transformaciones de coordenadas. Entonces podemos prolongar una transformación de coordenadas

$$q^i ~\longrightarrow~ q^{\prime j}~=~q^{\prime j}(q)$$

en el paquete cotangente$T^*M$de la manera estándar

$$p_i ~=~ p^{\prime}_j \frac{\partial q^{\prime j} }{\partial q^i} ~.$$

No es difícil comprobar que la forma simpléctica de dos se vuelve invariante

$$dp^{\prime}_j \wedge dq^{\prime j}~=~ dp_i \wedge dq^i$$

(que corresponde a un simplectomorfismo en la imagen activa).