Prueba de que la renormalización wilsoniana solo genera términos consistentes con la simetría de la acción

Creo que es bastante fácil de probar con integrales funcionales. En la renormalización de Wilson, se divide el campo en modos de baja energía y modos de alta energía, digamos$\phi = \varphi + \Phi$, dónde$\varphi$sólo tiene apoyo en momentos pequeños y$\Phi$en los grandes. la acción será$S[\varphi,\Phi] = S_1[\varphi] + S_2[\Phi] + S_\text{int}[\varphi,\Phi]$.

Imagine ahora que la teoría completa (alta energía) tiene una simetría bajo$\varphi \to \tilde\varphi[\varphi]$y$\Phi \to \tilde\Phi[\Phi]$. Esto significa que la acción es invariante:$S[\tilde\varphi,\tilde\Phi]=S[\varphi,\Phi]$. Tenga en cuenta también que he utilizado el hecho de que las simetrías internas no mezclan los modos de baja energía con los de alta energía. EDITAR: Para entender esto, uno puede trabajar, por ejemplo, en el espacio de impulso. Los modos de baja y alta energía se definen de tal manera que

$$\varphi(k) = \begin{cases} \phi(k) \quad \text{ for } k \leq \Lambda \\ 0 \quad \quad \,\text{ otherwise}\end{cases}\,, \qquad \Phi(k) = \begin{cases} 0 \quad\quad\,\, \text{ for } k \leq \Lambda \\ \phi(k) \quad \,\text{ otherwise}\end{cases}\,.$$ Dado que las simetrías internas no actúan sobre los momentos, sino sólo sobre los índices de los campos, la transformada de, por ejemplo,$\varphi(k)$seguirá teniendo solo soporte en$k\leq \Lambda$, es decir, seguirá siendo un modo de bajo consumo. FIN DE EDICIÓN

Ahora, la acción efectiva obtenida integrando sobre modos de alta energía, se define como

$$e^{iS_\text{eff}[\varphi]} = e^{iS_1[\varphi]}\int \mathcal{D}\Phi \, \exp \left( iS_2[\Phi]+iS_\text{int}[\varphi,\Phi] \right)\,.$$

Ahora, realice una transformación de simetría en$\varphi$,

$$\begin{align} e^{i S_\text{eff}[\tilde\varphi]} &= e^{iS_1[\tilde \varphi]} \int \mathcal{D}\Phi \exp\left( iS_2[\Phi] + i S_\text{int}[\tilde\varphi,\Phi]\right) \\ &= e^{iS_1[\tilde \varphi]} \int \mathcal{D}\tilde\Phi \exp\left( iS_2[\tilde\Phi] + i S_\text{int}[\tilde\varphi,\tilde\Phi]\right) \\ &= e^{iS_1[\varphi]} \int \mathcal{D}\Phi \exp\left( iS_2[\Phi] + i S_\text{int}[\varphi,\Phi]\right)= e^{iS_\text{eff}[\varphi]}\,, \end{align}$$

donde en la segunda igualdad acabo de realizar un cambio de variable de integración$\Phi\to\tilde\Phi$, y en el tercero he usado el hecho de que la acción es invariante y la simetría no es anómala (es decir,$\mathcal{D}\Phi = \mathcal{D}\tilde\Phi$).

Por lo tanto, si la teoría original es invariante, la de baja energía efectiva también es invariante, es decir, no se pueden generar términos de ruptura de simetría en el procedimiento de renormalización.

¡Espero que esto responda tu pregunta!

1. La acción efectiva wilsoniana
   

   $$\begin{align} \exp&\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[J^H,\phi_L] \right\}\cr ~:=~~~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\phi_L+\phi_H]+J^H_k \phi_H^k\right)\right\} \end{align}\tag{A}$$ se define integrando modos pesados/altos$\phi^k_H$y dejando los modos light/low$\phi^k_L$. Aquí$J^H_k$denota fuentes para los modos pesados. La acción efectiva wilsoniana (posiblemente no local)$W_c[J^H,\phi_L]$es la funcional generatriz de conexos$\phi_H$Diagramas de Feynman en segundo plano$J^H,\phi_L$.

2. Asume la acción

   $$S[\widetilde{\phi}]~=~S[\phi]\tag{B}$$ es invariante bajo una transformación afín invertible$^1$ $$\widetilde{\phi} ~=~A\phi+b. \tag{C}$$

3. Es natural asociar la traducción no homogénea$b$en la ec. (C) con los modos de luz. Esto conduce a las leyes de transformación parcial

   $$\begin{align} \widetilde{\phi}_L ~=~&A\phi_L+b, \cr \widetilde{\phi}_H ~=~&A\phi_H, \cr \widetilde{J}^H ~=~&J^HA^{-1}. \cr \end{align}\tag{D}$$

4. Suponga que la integral de trayectoria mide

   $${\cal D}\widetilde{\phi}_H~=~{\cal D}\phi_H\tag{E}$$ también es invariante.

5. Entonces la acción efectiva wilsoniana

   $$\begin{align} \exp&\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[\widetilde{J}^H,\widetilde{\phi}_L] \right\}\cr ~\stackrel{(A)}{=}~~~&\int \! {\cal D}\frac{\widetilde{\phi}_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\widetilde{\phi}_L+\widetilde{\phi}_H]+\widetilde{J}^H_k \widetilde{\phi}_H^k\right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{linearity}}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{\widetilde{\phi}_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\widetilde{\phi_L+\phi_H}]+\widetilde{J}^H_k \widetilde{\phi}_H^k\right)\right\}\cr ~\stackrel{(B)+(E)}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\phi_L+\phi_H]+J^H_k \phi_H^k\right)\right\}\cr ~\stackrel{(A)}{=}~~~&\exp\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[J^H,\phi_L] \right\} \end{align}\tag{F}$$ es invariante también.

Referencias:

1. S. Weinberg, Teoría cuántica de campos, vol. 2, 1996; Sección 16.4 pág. 77 + Sección 17.2 p. 84.

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$^1$La posible extensión de la ec. (F) a las simetrías no afines se basa en una separación efectiva de los modos ligero y pesado, cf. La respuesta de Einj. Ver también una discusión relacionada en Ref. 1, donde se demuestra que la acción efectiva/adecuada $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$hereda simetrías afines de la acción$S[\phi]$y la medida integral de trayectoria${\cal D}\phi$.