Justificación de la sustitución en la búsqueda de integrales indefinidas

Esto es un poco tarde, y veo que ya ha aceptado una respuesta, pero presentaré una respuesta propia en caso de que lo ayude (incluso si es solo un poco más) o cualquier otra persona que lo lea en el futuro.

todo el negocio de$u$- sustitución en el cálculo introductorio de una sola variable, tratando las diferenciales$dx,dy,du$etc. como fracciones cuando nos dicen explícitamente que no son fracciones; luego decirnos que podemos definir cosas llamadas formas diferenciales, pero solo mucho más tarde en nuestro viaje matemático, es algo que también me ha molestado por un tiempo... por eso escribo esto.

Usaré alguna notación que temporalmente podría no ser muy agradable, pero tengan paciencia conmigo. Entonces, antes que nada, definiré la primitiva de una función (continua)$f$,$prim(f)$, para denotar una función cuya derivada es$f$(a diferencia de la notación integral indefinida). es decir, para cada punto$x \in$Dominio($f$),$[prim(f)]'(x) = f(x)$. Ahora, por supuesto, hay infinitas primitivas, pero solo arreglemos una y sigamos con ella.

A continuación, enunciaré y probaré la versión integral indefinida de la regla de sustitución, que has etiquetado ($1$), usando la terminología de primitivas.

Teorema: Supongamos$f$y$g'$son funciones continuas. Entonces$prim[(f \circ g) g'] = [prim(f)]\circ g$.

El significado de esta afirmación es que las derivadas de ambos lados concuerdan; así que vamos a mostrar sólo eso. La derivada de la LHS es (por definición de primitiva) simplemente$(f \circ g) g'$.

Para la RHS, usamos la regla de la cadena para diferenciar para obtener:$\left[\left(prim(f)\right)' \circ g\right] g'$, que una vez más, por definición de primitiva se simplifica a$(f \circ g) g'$.

Entonces, hemos probado la versión integral indefinida de la regla de sustitución. Ahora, expresaré esto en una notación con la que todos estamos más familiarizados.

Si$f$y$g'$son continuos entonces

$$\int (f \circ g) g' = \left( \int f \right)\circ g$$ o

$$\int f(g(x))\ g'(x)dx = \left( \int f \right) (g(x))$$ donde, como puede ver, el RHS de la ecuación inferior es bastante difícil de escribir; se supone que significa $prim(f)$evaluado en el punto $g(x)$. Esta es la razón por la que personalmente prefiero la ecuación superior: es una declaración sobre la igualdad de funciones, por lo que no hay absolutamente ninguna necesidad de incorporar la variable ficticia/parámetro de integración (por supuesto, en los cálculos reales es conveniente, pero no cuando se escriben declaraciones).

Ahora que he explicado mi terminología lo suficiente, intentaré explicar cómo responder a su pregunta sin manipulaciones diferenciales extrañas.

Dejar$f$y$g$ser funciones definidas por las reglas

$$f(x) =\frac{1}{\sqrt{4-x^2}},\ g(\theta) = 2\ sin(\theta)$$

Ahora bien, el teorema anterior establece que$prim[(f \circ g) g'] = [prim(f)]\circ g$. Como queremos una fórmula para$prim(f)$, podemos resolverlo componiendo con$g^{-1}$a ambos lados:$prim(f) = prim[(f \circ g) g']\circ g^{-1}$

Como notó, el RHS es más simple de calcular, así que hagámoslo. La primera parte es computación:

$$\begin{align*} prim[(f\circ g)g'](\theta) &= \int f(g(\theta))\ g'(\theta) d\theta \\ &= \int \frac{1}{\sqrt{4 - (2\ sin\theta)^2}} 2\ cos\theta \ d\theta \\ &= \int 1 \ d\theta \\ &= \theta \end{align*}$$

Así que esta función, en el punto$\theta$, tiene el valor$\theta$. Lo que significa que es simplemente el mapa de identidad,$Id$. Entonces, tenemos eso$prim(f) = prim[(f \circ g) g']\circ g^{-1} = (Id)\circ g^{-1} = g^{-1}$dónde$g^{-1}(x) = arcsin(\frac{x}{2})$.

es decir, hemos demostrado que

$$prim(f)(x) = g^{-1}(x) = arcsin\left( \frac{x}{2}\right)$$ ... o en notación más común: $$\int f(x)dx = \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}dx = arcsin\left( \frac{x}{2}\right)$$

Observe cómo a lo largo de esta respuesta he tratado de hacer una distinción clara entre las funciones en cuestión:$f, g, prim(f), g^{-1}$etc. y sus valores:$f(x), g(\theta), prim(f)(x), g^{-1}(x)$etcétera. La clave de todo este argumento fue tener cuidado con las funciones frente a sus valores, lo que estás componiendo y reorganizar la ecuación en el teorema para obtener una fórmula para$prim(f)$- no hubo diferenciales de multiplicación/cancelación en absoluto.

Ahora, elaboraré un poco más sobre el proceso general.

Muchas veces verás la siguiente declaración en su lugar: "Deja que$u = g(x), du = g'(x)dx$. Entonces,

$$\int f(g(x))\ g'(x)dx = \int f(u) du$$ "

Esta afirmación en sentido estricto no es exacta porque dice que si diferenciamos ambos lados obtenemos el mismo resultado, pero no es así porque$(f \circ g)g'$ciertamente no es igual a$f$.

Entonces, ¿qué sucede cuando esta no es una ecuación correcta pero de alguna manera terminamos con la respuesta correcta? Bueno, la sutileza es que la sustitución final después del proceso de integración corresponde a una composición. Esto se explica mejor con el siguiente ejemplo sencillo.

Supongamos que se nos pide que encontremos$\displaystyle \int 2x e^{x^2}dx$. Así es como procede la explicación típica: primer conjunto$u = x^2, du = 2x\ dx$. Entonces, hacemos uso de la "regla"$\displaystyle \int f(g(x))\ g'(x)dx = \displaystyle \int f(u) du$escribir:

$$\begin{align} \int 2x e^{x^2}dx &= \int e^u du \\ &= e^u \\ &= e^{x^2} \\ \end{align}$$ Y así hemos llegado a nuestra respuesta. Ahora analicemos lo que sucede en cada etapa de la respuesta.

Primero, cuando la gente escribe "set$u = x^2$"lo que realmente está pasando es que han identificado que, en primer lugar, el integrando es del tipo$f(g(x)) g'(x)$. A continuación, están diciendo que$g(x) = x^2$y eso$f(x) = e^x$

A continuación, tenemos la primera igualdad:$\int 2x e^{x^2}dx = \int e^u du$. Esta es la 'igualdad dudosa' en el sentido de que no son estrictamente iguales como funciones. Para ver esto, tenga en cuenta que la variable de integración puede ser lo que queramos, por lo que podemos llamarlo$u$o$x$o$t$etc. Entonces podemos escribir esta 'igualdad' como$\int 2x e^{x^2}dx = \int e^x dx$. Simplemente he cambiado la variable de integración de$u$a$x$en el RHS. Pero esto dice para cada$x,$ $e^{x^2} = e^x$, lo cual es claramente falso. Dejemos esto a un lado por ahora, volveré a por qué no es un gran problema más adelante.

Luego procedemos con la siguiente igualdad:$\int e^u du = e^u$. Esto simplemente dice$prim(f)(u) = e^u$, o suprimiendo la variable, podemos escribirla como$prim(f) = exp$. Este paso está bien :)

Por último, sustituimos$u = x^2$para concluir$e^u = e^{x^2}$. Este es el paso sutil, porque al sustituir$u = x^2$de vuelta a la ecuación, lo que realmente está pasando es que acabamos de componer con$g$! Es por eso que la respuesta final siempre resulta correcta.

Voy a resumir estos comentarios a continuación:

$$\int 2x e^{x^2}dx = \int e^u du \tag{!}$$ esto dice $prim((f\circ g)g') = prim(f)$, lo cual es falso.

A continuación, tenemos la cadena de igualdades:

$$\int e^u du = e^u = e^{x^2}$$ En la primera igualdad, simplemente estamos calculando $prim(f)$. En el segundo, estamos sustituyendo $u = x^2$atrás, que tiene el mismo efecto que escribir la composición $prim(f)\circ g$.

Por último, la razón por la que está "bien" que escribamos la ecuación que etiqueté como (!) como una igualdad es porque más adelante, cuando sustituimos$u = x^2$en realidad estamos componiendo con g... lo que significa que hemos hecho uso del Teorema demostrado anteriormente. Así es como el Teorema demostrado anteriormente se utiliza implícitamente en tales explicaciones de la$u$- regla de sustitución.

en la ecuacion$prim[(f \circ g) g'] = [prim(f)]\circ g$, a veces el LHS puede ser más fácil de calcular, para una elección adecuada$g$(como la pregunta que hizo) y, a veces, el RHS puede ser más fácil de calcular (como muestra el ejemplo que proporcioné). Así que la regla de sustitución funciona en ambos sentidos. Entonces la respuesta a tu pregunta

"¿Existe una declaración rigurosa para resolver integrales indefinidas que no se puedan expresar en la forma antes mencionada usando la sustitución como lo hicimos para las integrales definidas o se pueden calcular usando (1) de una manera que no puedo entender?"

¡Es sí! Las declaraciones sobre integrales indefinidas/anti-derivadas/primitivas son en realidad declaraciones sobre derivadas (no integrales definidas) disfrazadas. Entonces puede usar la regla de sustitución (cuya prueba se basó en la regla de la cadena) como lo he dicho y resolver el lado que desea :)

Traté de hacer explícitos los pasos que generalmente están implícitos y no se explican claramente. ¡Así que espero que esto sea útil para usted y para otros que puedan tener las mismas dudas!

Haces una buena pregunta. En el ejemplo que mencionaste, el primer paso es simplemente escribir una antiderivada en forma abstracta, que es

$$\tag 1 \int_0^x \frac{1}{\sqrt {4-t^2}}\,dt,\,\,|x|<2.$$

Lo sabemos$(1)$es una antiderivada del integrando por la FTC. Ahora considere la función$t=2\sin s.$Esta función mapea$(-\pi/2,\pi/2)$a$(-2,2)$bien. Por la primera ecuación que escribiste,

$$\tag 2 \int_0^x \frac{1}{\sqrt {4-t^2}}\,dt = \int_0^{\arcsin x/2} \frac{2\cos s}{\sqrt {4-(2\sin s)^2}}\,ds.$$

Después de darnos cuenta de que el denominador de la derecha es igual$2\cos s,$obtenemos$(1) = \arcsin x/2,$y hemos terminado.

Esta es la justificación tras bambalinas, aunque después de un tiempo estarás cancelando$dx$'s con lo mejor (peor) de ellos.

Definir$y=f(x)$y$x=s(t)$. Calcular$\dfrac{dy}{dt}$usando la regla de la cadena:

$$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}$$ Ahora, para revertir el proceso, calcule $$\int \frac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}dt$$ que según nuestras suposiciones es $$y=f(x)$$ Ahora, te dan $\dfrac{dy}{dx}$y has definido $x$como una función de $t$, para que puedas encontrar $\dfrac{dx}{dt}$. Tu problema es encontrar $y=f(x)$. Esa es la justificación que buscas. Introduciendo el nuevo parámetro $t$se hace solo para simplificar la integral, y todo se sigue de la regla de la cadena. Puede intentar usar sus funciones en las ecuaciones anteriores.

NOTA: En la integral, puedes hackear la notación y decir

$$\int\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}dt=\int\dfrac{dy}{dx}dx$$ Editar después del comentario
Déjame usar tu ejemplo aquí. te dan $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}$y quieres encontrar $y=f(x)$, es decir, la función cuya derivada es esta. te presentas $x=2\sin\theta$. Entonces tú sabes $\dfrac{dx}{d\theta}=2\cos\theta$. Tómalo desde aquí.