¿Es sospechosa la integración indefinida?

Question

¿Es sospechosa la integración indefinida?

José

En esta publicación , Qiaochu Yuan comenta que "es conveniente pero engañoso escribir

\int F (X) d X = gramo (X)

$\int f(x) \, dx=g(x)$ [donde la derivada de

g

$g$ es

f

$f$ ]'. Este sentimiento parece ser compartido por muchos colaboradores aquí, y no entiendo por qué. Para mí, tanto la integración definida como la indefinida son operaciones válidas que puedes realizar en una función, y no hay nada sospechoso en la integración indefinida.

Conozco el teorema fundamental del cálculo, que (hasta donde yo entiendo) explica el vínculo entre integración indefinida y definida. Si por integración entendemos calcular el área bajo la gráfica, el teorema fundamental del cálculo nos muestra que integración es lo opuesto a diferenciación, ya que

\frac{d}{d X} \int_{a}^{X} F (t) d t = F (X)

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$ Esto demuestra que toda función continua tiene una antiderivada. Dado que se ha establecido un vínculo claro entre integración y antidiferenciación, le damos a la antiderivada la conveniente etiqueta de "integral indefinida". (Esto también explica por qué las notaciones de integración definida e indefinida son tan similares). Esta etiqueta está bien, siempre y cuando recordemos que la integración se define como encontrar el área debajo del gráfico, mientras que la antidiferenciación se define como encontrar la inversa de la derivada.

Otro resultado del teorema fundamental del cálculo es que

\int_{a}^{X} F (t) d t = \int F (X) d X

$\int_{a}^{x}f(t) \, dt=\int f(x) \, dx$ Entonces, obviamente, cada integral indefinida se puede reescribir en términos de integrales definidas, pero no entiendo la motivación detrás de esto. Si

F

$F$ es una antiderivada de

f

$f$ , entonces ¿por qué es más correcto escribir

\int_{a}^{X} F (t) d t = F (X),

$\int_{a}^{x} f(t) \, dt = F(x) \, ,$ en comparación con

\int F (X) d X = F (X) ?

$\int f(x) \, dx = F(x) \, ?$

lulú

No me imagino que nadie esté cuestionando la validez de la integración. Pero escribiendo la integral indefinida de esa manera

A

$A$ . oscurece la naturaleza de

x

$x$ como una variable ficticia para la integración y

B .

$B.$ sugiere incorrectamente que solo hay una función

f

$f$ que podría ser utilizado allí. ¿Podrías, por ejemplo, escribir ambos

\int x d x = \frac{x^{2}}{2}

$\int x\,dx = \frac {x^2}2$ y

\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + 1

$\int x\,dx = \frac {x^2}2+1$ ? Supongo que ves el problema con eso. Es mucho mejor escribir, por ejemplo,

\int_{a}^{x} g (x) d x = f (x)

$\int_a^x g(x)\,dx = f(x)$ o mejor,

\int_{a}^{x} g (t) d t = f (x)

$\int_a^x g(t)\,dt = f(x)$

usuario2661923

Dicho

\int f (x) d x = g (x)

$\int f(x)dx = g(x)$ es equivalente a decir que

\int f (t) d t = g (x) .

$\int f(t)dt = g(x).$ Entonces, te quedas pensando: ¿cómo puede ser esto, ya que no hay relación entre

x

$x$ y la variable ficticia

t

$t$ . Entonces, evitas la formalidad de

\int_{a}^{x} f (t) d t = g (x)

$\int_a^x f(t)dt = g(x)$ por la interpretación muy estrecha de

\int f (t) d t = g (x)

$\int f(t)dt = g(x)$ como solo significa que

g^{'} (x) = f (x) .

$g'(x) = f(x).$

Enrique

Suponer

f (x) = \sin (x) \cos (x)

$f(x)=\sin(x) \cos(x)$ . Una persona puede encontrar una antiderivada de

\frac{1}{2} \sin^{2} (x)

$\frac12 \sin^2(x)$ . Otro podría encontrar

- \frac{1}{2} \cos^{2} (x)

$-\frac12 \cos^2(x)$ . Un tercio podría obtener

- \frac{1}{4} \cos (2 x)

$-\frac14 \cos(2x)$ . Estos son obviamente diferentes (el primero no es negativo y el segundo no positivo) pero son igualmente correctos (o incorrectos) y se diferencian por las constantes

JonathanZ apoya a MonicaC

Me gusta pensar que puedes usar esa notación, pero luego debes tener cuidado para darte cuenta de eso "

=

$=$ "significa algo diferente. Puede encontrar útil esta respuesta a una pregunta similar anterior .

Respuestas (7)

¿Es sospechosa la integración indefinida?

No me imagino que nadie esté cuestionando la validez de la integración. Pero escribiendo la integral indefinida de esa manera $A$ . oscurece la naturaleza de $x$ como una variable ficticia para la integración y $B.$ sugiere incorrectamente que solo hay una función $f$ que podría ser utilizado allí. ¿Podrías, por ejemplo, escribir ambos $\int x\,dx = \frac {x^2}2$ y $\int x\,dx = \frac {x^2}2+1$ ? Supongo que ves el problema con eso. Es mucho mejor escribir, por ejemplo, $\int_a^x g(x)\,dx = f(x)$ o mejor, $\int_a^x g(t)\,dt = f(x)$
Dicho $\int f(x)dx = g(x)$ es equivalente a decir que $\int f(t)dt = g(x).$ Entonces, te quedas pensando: ¿cómo puede ser esto, ya que no hay relación entre $x$ y la variable ficticia $t$ . Entonces, evitas la formalidad de $\int_a^x f(t)dt = g(x)$ por la interpretación muy estrecha de $\int f(t)dt = g(x)$ como solo significa que $g'(x) = f(x).$
Suponer $f(x)=\sin(x) \cos(x)$ . Una persona puede encontrar una antiderivada de $\frac12 \sin^2(x)$ . Otro podría encontrar $-\frac12 \cos^2(x)$ . Un tercio podría obtener $-\frac14 \cos(2x)$ . Estos son obviamente diferentes (el primero no es negativo y el segundo no positivo) pero son igualmente correctos (o incorrectos) y se diferencian por las constantes
Me gusta pensar que puedes usar esa notación, pero luego debes tener cuidado para darte cuenta de eso " $=$ "significa algo diferente. Puede encontrar útil esta respuesta a una pregunta similar anterior .

noah schweber · Answer 1

noah schweber

Básicamente, hay un error de tipo: " $\int f(x)\,dx$ " es una cosa perfectamente significativa, pero esa cosa no es una sola función, sino un conjunto de funciones.

El punto es que una función no tiene una antiderivada única . Por ejemplo, ${x^2\over 2}$ es una antiderivada de $x$ (con respecto a $x$ por supuesto), pero también lo es ${x^2\over 2}-4217$ . No es la integral indefinida la que es sospechosa, sino la notación que usamos a su alrededor, específicamente, la forma en que usamos " $=$ ." Hablando con propiedad, $\int f(x)dx$ hace referencia a un conjunto de funciones.

Esto generalmente se soluciona al incluir una constante de integración , de modo que escribimos

\int X d X = \frac{X^{2}}{2} + C

$\int x\,dx={x^2\over 2}+C$ para significar "El conjunto de antiderivadas de

x

$x$ es el conjunto de funciones de la forma

\frac{x^{2}}{2} + C

${x^2\over 2} + C$ para

C \in R

$C\in\mathbb{R}$ ."

Dicho esto, agregar ciegamente una constante de integración aún no siempre soluciona el problema: deja $f(x)=-{1\over x^2}+1$ si $x>0$ y $-{1\over x^2}-1$ si $x<0$ ; cual es la derivada de $f$ , y lo hace $f$ tener la forma $-{1\over x^2}+C$ para algún número real fijo $C$ ?

José

Hola Noé. Gracias por publicar esta respuesta. ¿Podría aclarar que lo entendí correctamente? Haré todo lo posible para resumir sus puntos. Si interpretamos el enunciado

\int F (X) d X = F (X)

$\int f(x) \, dx = F(x)$ literalmente, entonces es falso: LHS representa un conjunto de funciones, mientras que RHS se refiere a una función particular. Incluso si escribimos

\int F (X) d X = F (X) + C

$\int f(x) \, dx = F(x)+C$ todavía tenemos que interpretar el RHS como una referencia a todos los valores posibles de

C

$C$ , en lugar de un solo valor.

noah schweber

@Joe Sí. E incluso entonces, una sola constante de integración podría no ser suficiente; ver el final de mi respuesta, o ver la respuesta de Randall.

José

Oh sí. Me olvide de eso. Además, se me ocurrió que podría estar abusando de la notación de otra forma. Técnicamente,

f

$f$ es la función, mientras que

f (x)

$f(x)$ se refiere a

f

$f$ evaluado en un punto determinado

x

$x$ . Entonces, si fuéramos muy pedantes,

\int X^{2} d X = \frac{X^{3}}{3} + C

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}+C$ significa que el conjunto de funciones, donde cada función se define en intervalo(s) conectado(s) por

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^3}{3}$ más alguna constante, tienen una pendiente de

x^{2}

$x^2$ en el punto

x

$x$ para todos

x

$x$ . ¿Está bien?

noah schweber

@Joe No, en mi experiencia cuando escribimos "

\int f

$\int f$ "sin más decoración, estamos viendo antiderivadas que están definidas en un dominio lo más grande posible. El conjunto que estás describiendo es la unión de los conjuntos de la forma

\int_{I} f (x) d x

$\int_If(x)dx$ para

I

$I$ un intervalo conexo.

noah schweber

Entonces "

\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C

$\int x^2dx={x^3\over 3}+C$ " significa que

(i)

$(i)$ cada función de la forma

\frac{x^{3}}{3} + C

${x^3\over 3}+C$ para

C \in R

$C\in\mathbb{R}$ es una antiderivada de

x^{2}

$x^2$ w/r/t

x

$x$ y no es la restricción apropiada de cualquier antiderivada de

x^{2}

$x^2$ (ese último bit es vacío aquí ya que cada función de este tipo está definida en todos los

R

$\mathbb{R}$ ), y

(i i)

$(ii)$ cada una de estas "antiderivadas máximamente definidas" es de la forma

\frac{x^{3}}{3} + C

${x^3\over 3}+C$ para algunos

C \in R

$C\in\mathbb{R}$ .

José

Gracias, eso aclara mi confusión. Entonces, la función que estamos buscando tiene que estar definida en el mismo dominio que

f

$f$ (o en un dominio más grande). ¿Es eso correcto?

federico poloni

¿No es este el mismo tipo de "sospechoso" que

\sin (x) = x + O (x^{3})

$\sin(x) = x + O(x^3)$ ?

noah schweber

@FedericoPoloni Sí. Odio odio odio odio odio esa notación. (dobladillo)

md2perpe

Me gusta este ejemplo de cálculo:

\int \frac{1}{X} d X = \int 1 \cdot \frac{1}{X} d X = X \cdot \frac{1}{X} - \int X \cdot (- \frac{1}{X^{2}}) d X = 1 + \int \frac{1}{X} d X

$\int \frac1x \, dx = \int 1 \cdot \frac1x \, dx = x \cdot \frac1x - \int x \cdot \left( -\frac1{x^2}\right) \, dx = 1 + \int \frac1x \, dx$ Parece que esto da

0 = 1

$0=1$ después de la resta de

\int \frac{1}{x} d x,

$\int \frac1x \, dx,$ pero este cálculo ejemplifica más bien que los signos de igual deberían ser más bien signos de equivalencia;

u \equiv v

$u \equiv v$ si

u^{'} = v^{'}

$u'=v'$ .

noah schweber

Por curiosidad, ¿por qué el voto negativo?

José

Me doy cuenta de que esta es una publicación bastante antigua ahora, pero todavía no estoy exactamente seguro sobre el estado de la variable

x

$x$ en la integral

\int f (x) d x

$\int f(x) \, dx$ . Lo siento si lo que estoy preguntando no tiene mucho sentido. Después de que Qiaochu publicó su respuesta, dijo que uno de los principales problemas con la escritura

\int f (x) d x = F (x) + C

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$ es eso

x

$x$ se utiliza de dos maneras diferentes: como variable ficticia y como variable libre que representa la entrada de un conjunto de funciones. así que escribiendo

\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C

$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$ es engañoso porque...

José

...el

x

$x$ en el LHS está haciendo dos trabajos: es una variable ficticia que sirve para decirnos que estamos tratando de encontrar las antiderivadas de la función

f : x \mapsto x^{2}

$f: x \mapsto x^2$ ; pero también es el punto en el que estamos evaluando las antiderivadas. Por lo tanto, podría ser más lógico escribir algo como

(\int t^{2} d t) (x) = \frac{x^{3}}{3}

$\left(\int t^2 \, dt\right)(x)=\frac{x^3}{3}$ , significa que

x

$x$ no se está utilizando de dos maneras diferentes. Intenté preguntarle a Qiaochu sobre esto, pero no respondió. ¿Entiendo las cosas correctamente?

José

@NoahSchweber: Y si quisiéramos definir formalmente la integral indefinida, podríamos definirla como el conjunto

{F ∣ F^{'} = f}

$\{F\mid F' = f\}$ . Entonces, se puede demostrar como un teorema que si

S

$S$ es una antiderivada de

f

$f$ , entonces toda antiderivada de

f

$f$ debe ser de la forma

F : x \mapsto S (x) + C

$F:x \mapsto S(x)+C$ , dónde

C

$C$ es una función que es constante en un intervalo conexo.

Anixx

"una función no tiene una antiderivada única". - lo hace.

f^{(- 1)} (x) = \frac{1}{2} \int_{R} s g n (x - t) f (t) d t

$f^{(-1)}(x)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}{\rm sgn}(x-t)f(t)dt$ física.stackexchange.com/q/552317/1186

Yuan Qiaochu · Answer 2

Yuan Qiaochu

Las otras respuestas han hecho buenos puntos sobre las constantes de integración, pero esto no es realmente lo que quise decir, aunque está relacionado. Lo que quise decir es lo que dice lulu en los comentarios: escribir antiderivadas de esta manera te engaña sobre la relación entre el $x$ en el LHS (que es una variable ficticia) y el $x$ en el RHS (que no lo es). El Real" $x$ en el LHS es uno de los límites de integración, que se suprime en la notación.

El sentido en el que esto es engañoso se vuelve más claro una vez que comienza a considerar las integrales dobles, que es el contexto de la pregunta a la que se vincula. Si tiene sentido escribir $\int f(x) \, dx = g(x)$ , entonces seguramente también tiene sentido escribir $\int g(x) \, dx = h(x)$ , ¿bien? Entonces tiene sentido escribir

\iint F (X) d X d X = h (X)

$\iint f(x) \, dx \, dx = h(x)$

¿O no? ¿Qué opinas?

a la izquierda

De acuerdo: el problema con la noción de antiderivada de integral indefinida no sería tan malo si solo fuera para la integración en la línea real, pero simplemente no se escala a dimensiones más altas. En un contexto más avanzado, muy a menudo se considera algo de la forma

∫Ωd xF( X ) $\int_\Omega\!\mathrm{d}x\:f(x)$ , dónde

Ω $\Omega$ puede ser un subconjunto de

Rnorte $\mathbb{R}^n$ o algún grupo múltiple / Lie o lo que sea, no hay problema para la integración, pero ¿antiderivadas? De ninguna manera.

Carmeister

Otra forma de ver esto podría ser: cuando escribimos

F( x ) = gramo( X ) $f(x)=g(x)$ hay un cuantificador implícito de que esto es cierto para todos

X $x$ . Entonces tenemos

F( 1 ) = gramo( 1 ) $f(1)=g(1)$ ,

F( 7 ) = gramo( 7 ) $f(7)=g(7)$ ,

F( π) = gramo( π) $f(\pi)=g(\pi)$ , etcétera. Pero cuando escribimos

∫Xdx =X2/ 2+C $\int x\,dx = x^2/2+C$ entonces no concluiríamos que

∫3d3 = 9 / 2 + C $\int 3\,d3=9/2+C$ ...

José

Hola qiaochu. Gracias por aclarar tus comentarios. Sin embargo, tengo una pregunta: ¿por qué el

X $x$ en

∫F( X )dX $\int f(x) \, dx$ considerada una variable ficticia? Para mí, la declaración

\int X d x = X 2 2 + C

$\int x \, dx=\frac{x^2}{2}+C$ significa que la función

F $f$ definido por

F( X ) =X22+ C $f(x)=\frac{x^2}{2}+C$ tiene una pendiente de

X $x$ en el punto

X $x$ (para todos

X $x$ ). Cuando dices 'variable ficticia', ¿quieres decir que también podría escribir que la función

F $f$ definido por

F( y) =y22+ C $f(y)=\frac{y^2}{2}+C$ tiene una pendiente de

y $y$ en el punto

y $y$ ?

Yuan Qiaochu

@Joe: el

X $x$ en

∫F( X )dX $\int f(x) \, dx$ es una variable ficticia porque se ha integrado; el Real"

X $x$ es el límite superior de integración, por lo que es más preciso escribir esta integral como

∫XaF( t )dt $\int_a^x f(t) \, dt$ (y

t $t$ se puede reemplazar con cualquier otra variable ficticia). Este problema ya surge cuando considera sumas definidas e indefinidas; la suma parcial

∑nortek = 0F( k ) $\sum_{k=0}^n f(k)$ es una función de

norte $n$ porque

norte $n$ es el límite superior de la suma, y

k $k$ es una variable ficticia; después de haberlo sumado, ya no aparece.

José

@QiaochuYuan Entiendo lo que quiere decir en el ejemplo de suma, pero todavía no estoy seguro acerca de las integrales. Lamento molestarlo, pero ¿podría entrar un poco más en detalle acerca de cómo el

X $x$ en

∫F( X )dX $\int f(x) \, dx$ es una variable ficticia? No veo cómo eso se deduce inmediatamente del hecho de que el

X $x$ se está integrando.

Yuan Qiaochu

@Joe: es exactamente lo mismo que el ejemplo de suma. Tal vez sea más claro si cambiamos la variable "real":

∫y0F( X )dX $\int_0^y f(x) \, dx$ es una función de

y $y$ , no

X $x$ , porque

y $y$ es lo que aparece en los límites de la integral. El

X $x$ ha desaparecido por completo. ¿Sí?

José

@QiaochuYuan Sí, eso tiene sentido. Pero no entiendo cómo esto hace que la otra notación sea inexacta. Si escribimos

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}+C \, \text{,}$ entonces el LHS no parece contener una variable ficticia, y no entiendo por qué debería contener una. ¿No sugiere correctamente esta notación que la pendiente de

$f$ , definida por

$f(x)=\frac{x^2}{2}+C$ tiene una pendiente de

$x$ en el punto

$x$ ? Aquí,

$x$ parece significar un punto genuino en el gráfico de

$y=\frac{x^2}{2}+C$ —es solo que es arbitrario qué punto elegimos. Y entonces a mi no me parece

$x$ es una variable ficticia.

Yuan Qiaochu

@Joe: presta atención a las palabras que estoy usando; ha afirmado que dije que la integración indefinida es "sospechosa" o "inexacta" y eso no es lo que dije, dije "engañoso" y quise decir "engañoso". Es engañoso precisamente porque el LHS no parece contener una variable ficticia, pero de hecho la contiene. LHS es la abreviatura de una integral de la forma

$\int_a^x t \, dt$ donde

$a$ es una constante y

$t$ puede ser reemplazada por cualquier otra variable ficticia. La gente entiende esto implícitamente y en su mayoría está bien para integrales simples, pero se vuelve confuso para integrales dobles.

Yuan Qiaochu

Y las integrales dobles fueron el contexto de la pregunta a la que se vinculó; no has abordado esa parte de mi respuesta en absoluto.

Peter Le Fanu Lumsdaine

@Joe: Una forma útil de ver si una variable es un "ficticio" es preguntar si tendría sentido ingresarle un valor. ¿Tiene algún sentido decir “tomar

$\int x\,dx$ , luego reemplaza

$x=3$ , para obtener

$\int 3\, d3$ ”? ¡No! Si estás pensando en

$\int x\, dx$ como una función (o, mejor, un conjunto de funciones), y quiere ver qué hace la función en 3, no reemplaza 3 por

$x$ , pones 3 como límite superior de integración. Entonces

$x$ no es la variable que representa la entrada de la función.

invierno

El último punto que hace en la publicación es una de las objeciones clave a esta notación, en mi opinión. Veo que los nuevos estudiantes cometen este error con bastante frecuencia: sustituyen

$f(x) = \int g(x)dx$ en

$\int f(x) dx$ y terminar con algo que no tiene absolutamente ningún sentido y no ver dónde salieron mal las cosas. Entonces, incluso si la expresión está bien para usar cuando se comunica con personas que realmente entienden su significado, es una fuente de error y genera confusión para las personas nuevas en la integración, por lo que "engañoso" es una caracterización muy apropiada.

José

@QiaochuYuan Lo siento, no quise tergiversar lo que estabas diciendo. La razón por la que no he mencionado las integrales dobles es porque no he estudiado cálculo multivariable en absoluto. Entonces, ¿estás sugiriendo que definamos

$\int f(x) \, dx$ como

$\int_{a}^{x} f(t) \, dt$ ? Si es así, ¿cuáles son las ventajas de esto? ¿Es posible definir la integral indefinida como un conjunto de antiderivadas?

Yuan Qiaochu

@Joe: no es una cuestión de definiciones, es una cuestión de notación. Las ventajas son como describí: la

$x$ está en el lugar correcto, y la variable ficticia se trata correctamente como una variable ficticia, lo que es menos confuso por varias razones. Es la misma razón por la que escribimos

$f(n) = \sum_{k=1}^n g(k)$ y no

$f(n) = \sum_{n=1}^n g(n)$ ; aqui

$k$ es la variable ficticia.

José

@QiaochuYuan OK, creo que ahora entiendo. Entonces queremos

$\int f(x) \, dx$ para representar una función (o, para ser más precisos, una función evaluada en

$x$ -Creo). Pero no hay manera de enchufar

$x=3$ , por ejemplo, en

$\int f(x) \, dx$ . Por el contrario, podemos escribir

$\int_{a}^{3} f(t) \, dt$ si usamos la notación que sugirió. Desafortunadamente, como alguien que nunca antes ha estudiado cálculo multivariable, no veo mucho problema con

$\iint f(x) \, dx \, dx = h(x)$ , aparte de los problemas en el caso de integral simple. ¿Estás diciendo que las cosas se vuelven mucho más confusas con las integrales dobles?

José

@QiaochuYuan Y gracias, esto realmente me ha ayudado a comprender mejor la notación que rodea a las integrales.

Yuan Qiaochu

@Joe: sí, ese es un buen ejemplo, no puede ingresar un número en una variable ficticia porque ya se "agotó". No es un gran problema en el caso de una sola variable; como ya he dicho, el contexto original de la cita sobre la que hiciste esta pregunta era sobre una integral multivariable. Si eso no es relevante para ti, entonces no te preocupes.

José

@QiaochuYuan: Lamento molestarlo de nuevo, pero ¿las siguientes notaciones hipotéticas también son menos engañosas? si

$f$ es una función integrable, entonces podríamos denotar su conjunto de antiderivadas como

$\left(\int f\right)(x)$ (donde

$\int f$ no es una función sino una multifunción). O, quizás,

$\left(\int f(t) dt \right)(x)$ , donde

$t$ es una variable ficticia, lo que significa que la variable

$x$ no se está utilizando de dos maneras diferentes. Por ejemplo, podríamos escribir

$\left(\int t^2 \right)(x) = \frac{x^3}{3}+C$ (donde la

$C$ notación denota implícitamente un conjunto de antiderivadas).

José

Si encuentra tiempo para responder a mi pregunta, le estaría muy agradecido. Pero no te preocupes si no.

Randall · Answer 3

Por ejemplo, la vieja "fórmula" familiar

\int \frac{1}{X} d X = en | X | + C

$\int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| + C$ es falso (a menos que defina la integral indefinida MUY cuidadosamente). Esto pretende decir que cualquier antiderivada de

f (x) = \frac{1}{x}

$f(x) = \frac{1}{x}$ debe tomar la forma

F (x) = \ln | x | + C

$F(x) = \ln|x|+C$ para alguna constante fija

C

$C$ . Pero esto sólo es cierto en un intervalo conectado . Por ejemplo, la función

GRAMO (X) = {\begin{cases} en | X | + 1, & X < 0 \\ en | X | - 1, & X > 0 \end{cases}

$G(x) = \begin{cases} \ln|x| +1, & x < 0\\ \ln|x|-1, & x > 0\end{cases}$ satisface

G^{'} = f

$G'=f$ , aunque no es expresable en la forma

\ln | x | + C

$\ln|x|+C$ . Bien hecho, solo deberíamos definir integrales indefinidas sobre intervalos (esto se debe al Teorema del valor medio).

Se puede reparar permitiendo $C$ ser una función localmente constante y no sólo una constante. Este es un ejemplo muy simple de cohomología de De Rham, en este caso la cohomología cero de Rham $H^0_{dR}(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}, \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^2$ .
Y, por supuesto, las cosas empeoran aún más si tratas de extender esta antiderivada al plano complejo.

Blanqueamiento de corales · Answer 4

Creo que una forma clara de ver esto es que la notación más pedante sería algo como esto:

F (X) \in \int F^{'} (X) d X

$f(x) \in \int f'(x)\,dx$

solo tienes que pensar en $f$ como algún elemento en un espacio vectorial, por ejemplo $f \in C^1(a,b)$ , el conjunto de funciones continuas con primera derivada continua. Entonces el operador integral es una transformación lineal, un mapa del tipo $\int_a^x: C(a, b) \rightarrow C^1(a, b)$ . Esto hace evidente que la escritura

F (X) = \int F (X) d X,

$F(x) = \int f(x)\,dx,$ dónde

F^{'} (x) = f (x)

$F'(x) = f(x)$ , fácilmente podría ser un abuso de notación, aunque la mayoría de las veces no es el caso, como han señalado los demás. El escritor sabe lo que está escribiendo: asumió

F

$F$ como sustituto de un conjunto completo de funciones, pero esto no siempre es claro para el lector. Otro problema que esto trae a la superficie es que el operador integral

\int_{a}^{x}

$\int_a^x$ como se ha escrito anteriormente está mal definido, ya que debería señalar un elemento

f \in C (a, b)

$f \in C(a,b)$ a un elemento

g \in C^{1} (a, b)

$g \in C^1(a,b)$ , no a un conjunto completo de ellos. Cómo definir bien este operador integral es una pregunta que está por encima de mi nivel de pago.

henry lee · Answer 5

Si definimos una función $F(x)$ como la antiderivada de la función $f(x)$ luego por FTC vemos que:

\int_{a}^{X} F (t) d t = F (X) - F (a) \neq F (X) \forall F (X)

$\int_a^xf(t)\,dt=F(x)-F(a)\neq F(x)\forall f(x)$ El problema radica en que para una derivada conocida dada,

F^{'} (x) = f (x)

$F'(x)=f(x)$ , hay muchas ecuaciones diferentes que satisfacen

F (x)

$F(x)$ que difieren por una constante, a menudo anotada por

+ C

${}+C$ . Esto se puede ver en muchos casos donde las personas descuidan esta "constante de integración":

\int \frac{1}{a X} d X = \frac{1}{a} \int \frac{1}{X} d X = \frac{1}{a} en | X | + C_{1}

$\int\frac{1}{ax}\,dx=\frac{1}{a}\int\frac 1x\,dx=\frac1a\ln|x|+C_1$

\int \frac{1}{a X} d X = \frac{1}{a} en | a X | + C_{2}

$\int\frac1{ax}\,dx=\frac1a\ln|ax|+C_2$ que al principio parecen completamente diferentes, pero cuando los valores correctos de

C_{1}, C_{2}

$C_1,C_2$ son elegidos estos son los mismos, ven?

Creo que el punto que la publicación está tratando de hacer es que, si bien en muchos escenarios es fácil definir una nueva función como la antiderivada de otra, algunos pueden encontrar esto engañoso al pensar que solo hay una función. $g(x)$ que cumple estas condiciones, cuando en realidad es lo que llamamos una "familia" de funciones similares

cazador · Answer 6

Dejando a un lado las matemáticas, hay un verdadero problema pedagógico/lingüístico.

Los nuevos estudiantes (razonablemente) piensan que la integral "definida" y la "indefinida" son dos variaciones del mismo fenómeno, mientras que, de hecho, la primera es el fenómeno y la última es una notación que hace que la primera sea más fácil de calcular.

En particular, el Teorema fundamental del cálculo parece tautológico la primera vez que los estudiantes lo ven, dado que ya "saben" que las integrales son antiderivadas.

¿Quiere decir que la única razón por la que las antiderivadas son útiles en primer lugar es porque nos ayudan a calcular áreas? Si es así, tendría sentido: tanto las derivadas como las integrales nos informan sobre pendientes y áreas, pero la antiderivada, en sí misma, no parece ser muy útil.

antonio · Answer 7

Marca. Básicamente, la información proporcionada por ese libro se ha resumido en respuestas anteriores a la pregunta original de esta conversación. Si puede consultar el Capítulo 5 de ese libro, puede encontrar las ideas principales:

hay una distinción entre "antiderivadas" y "primitivas": una antiderivada es UNA solución a la ecuación $\int f(x) dx = g(x)$ donde g(x) es la solución desconocida, mientras que la primitiva es el conjunto de todas las soluciones de la misma ecuación. Además, es conveniente considerar la ecuación $\int f(x) dx =g(x)$ como una ecuación diferencial f(x) = g'(x), que, formalmente, no tiene nada que ver con la integración (definida), aunque la integración definida es una herramienta muy importante para desarrollar resultados teóricos de antidiferenciación (como la existencia de una solución a f(x) =g'(x) cuando f(x) es continua en un intervalo).
el conjunto de todas las soluciones de f(x) = g'(x) está conectado con la constante de integración, y la constante de integración está relacionada con la forma del dominio de f(x). Ya se ha proporcionado un ejemplo básico: si f(x) = 1/x, entonces todas las soluciones son g(x)= log|x| +C(x), donde C(x) es una función constante en (-\infty,0) y constante en (0,\infty) (este tipo de funciones se llaman localmente constantes en ese libro); por ejemplo, g(x) = log|x| si x<0 y g(x) = log|x| - 5 si x>0 es una de las soluciones.
los capítulos 9, 10, 11 y 12 se ocupan de funciones estándar (trigonométricas, diferenciales binomiales, etc.) y allí, el tema principal es tratar con constantes de integración. Resumiendo mucho, es algo más que una implementación mecánica de fórmulas como lo hacen la mayoría de los libros.

¿Es sospechosa la integración indefinida?

José

lulú

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Enrique

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Respuestas (7)

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