¿Cuál es la definición de solitón?

¿Cuál es la definición de solitón? Me he encontrado con este nombre en diferentes situaciones como cuando el tema tratado es sobre QFT, dinámica de fluidos u óptica, pero no encuentro una definición general. Entendí que es una solución de una ecuación de onda no lineal, pero no encontré más.

¿Puedes explicarme qué es un solitón?

Un solitón es una onda única que se auto-refuerza, que se mueve a una velocidad constante, mientras mantiene su forma. Los solitones representan soluciones a una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales dispersivas débilmente no lineales, que están asociadas con sistemas físicos. Los solitones son causados ​​por una cancelación de efectos no lineales y dispersivos en el medio. (El término "efectos dispersivos" se refiere a una propiedad de ciertos sistemas donde la velocidad de las ondas varía según la frecuencia).

La dispersión y la no linealidad pueden combinarse y dar como resultado formas de onda permanentes y localizadas. Los solitones son el resultado del efecto Kerr no lineal: el índice de refracción de un material a una frecuencia determinada depende de la amplitud de la onda. Si el pulso tiene la forma correcta, el efecto Kerr cancelará con precisión el efecto disipador que de otro modo sería disruptivo y la forma del pulso no cambiará con el tiempo.

Simulación de colisión entre 2 solitones. Fuente de la imagen: Scholarpedia. organización

Fuente: De Wikipedia Korte-de Vries

La ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) es la base de las ecuaciones modelo de ondas no lineales.

La ecuación de KdV es$u_t + u_{xxx} + 6uu_x= 0$

Considere soluciones en las que una forma de onda fija (dada por $f(X))$mantiene su forma mientras viaja hacia la derecha a velocidad de fase c. Tal solución está dada por ${\displaystyle \phi }(x,t) = f(x − ct − a) = f(X)$. Sustituyéndolo en la ecuación de KdV se obtiene la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}+6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

o, integrando con respecto a X,

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}+3f^{2}=A}$

dónde $A$ es una constante de integración. Interpretando la variable independiente $X$ anterior como una variable de tiempo virtual, esto significa $f$satisface la ecuación de movimiento de Newton en un potencial cúbico. Si los parámetros se ajustan de modo que la función potencial $V(f)$tiene un máximo local en $f = 0$, hay una solución en la que $f(X)$comienza en este punto en el 'tiempo virtual' −∞, finalmente se desliza hacia abajo hasta el mínimo local, luego vuelve a subir por el otro lado, alcanzando la misma altura, luego invierte la dirección y termina nuevamente en el máximo local en el tiempo $∞$. En otras palabras, $f(X)$se aproxima a 0 como $X → ±∞$. Esta es la forma característica de la solución de onda solitaria.

Más precisamente, la solución es

${\displaystyle \phi (x,t)={\frac {1}{2}}\,c\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]}$

donde sech representa la secante hiperbólica y a es una constante arbitraria. Esto describe un solitón que se mueve hacia la derecha.

De Scholarpedia.org . A continuación se muestra un resumen de algunas de las ondas solitarias y tipos de solitones que se encuentran en muchas disciplinas, no solo en física, sino también en biología y matemáticas.

Desde el descubrimiento de las ondas solitarias y los solitones, se ha investigado una colección de pulsos localizados tanto en una dimensión como en múltiples dimensiones espaciales, aunque se debe matizar cuando se considera lo que constituye una onda solitaria (o incluso una solución localizada) en múltiples dimensiones espaciales. A muchos pulsos localizados se les ha dado un apodo que termina en "on" por concisión, aunque en general no tienen propiedades de interacción similares a las de los solitones. Los ejemplos más destacados incluyen los siguientes:

Solitones envolventes: descripciones de ondas solitarias de las envolventes de las ondas, como las que surgen de la propagación de ondas planas moduladas en un medio no lineal dispersivo con una relación de dispersión dependiente de la amplitud.

Gap solitones: Ondas solitarias que ocurren en huecos finitos en el espectro de sistemas continuos. Por ejemplo, los solitones de brecha se han estudiado bastante a fondo en ecuaciones NLS con potenciales espacialmente periódicos y se han observado experimentalmente en el contexto de la óptica no lineal y la condensación de Bose-Einstein.

Modos localizados intrínsecos (ILM): los ILM, o respiradores discretos, son excitaciones periódicas en el tiempo extremadamente localizadas espacialmente en sistemas periódicos (o cuasiperiódicos) discretos y espacialmente extendidos. (En la actualidad, no está claro si se pueden construir soluciones análogas cuasiperiódicas en el tiempo para ecuaciones reticulares generales.

q-breathers: soluciones exactas periódicas en el tiempo de sistemas no lineales espacialmente extendidos que continúan desde los modos normales de un sistema lineal correspondiente.

Solitones topológicos: solitones, como algunas soluciones a la ecuación seno-Gordon, que surgen debido a restricciones topológicas. Un ejemplo es un skyrmion, que es la solución de onda solitaria de un modelo nuclear cuya carga topológica es el número bariónico.

Otros ejemplos incluyen paredes de dominio, que se refieren a interfaces que separan distintas regiones de orden y que se forman espontáneamente cuando se rompe una simetría discreta (como la simetría de inversión de tiempo), dislocaciones de tornillo en redes cristalinas y el monopolo magnético.

Solitones de vórtice: Término que a menudo se aplica a fenómenos como anillos de vórtice (un objeto toroidal en movimiento y giratorio) y líneas de vórtice (que siempre son tangentes a la vorticidad local). Las estructuras similares a vórtices coherentes también surgen en los sistemas disipativos.

Solitones disipativos: estructuras estables localizadas que surgen en sistemas disipativos espacialmente extendidos. A menudo se estudian en el contexto de sistemas de reacción-difusión no lineales.

Oscilones: Onda estacionaria localizada que surge en medios granulares y otros medios disipativos que resulta, por ejemplo, de la vibración vertical de una placa cubierta por una capa de partículas libres.

Ondas solitarias de dimensiones superiores: las ondas solitarias y otras estructuras localizadas (y parcialmente localizadas) también se han estudiado en entornos de dimensiones superiores.

También se han investigado numerosas generalizaciones de los ejemplos anteriores, ya que se pueden considerar cadenas de solitones, análogos discretos de los ejemplos anteriores (como solitones de vórtice discretos), ejemplos semidiscretos (como ondas solitarias espaciotemporales en conjuntos de fibras ópticas), un tipo de solitón "incrustado" en otro tipo, ondas solitarias en medios no locales, ondas cuánticas solitarias y más, incluida su participación en el movimiento periódico de la cuna de Newton

La definición de solitón puede cambiar de autor a autor. Normalmente están de acuerdo en que

1. un solitón debe ser una solución de densidad de energía no singular, localizada, estática y finita para ecuaciones de campo no lineales.

Una solución localizada significa que los campos se acercan al vacío lo suficientemente rápido como para que la densidad de energía se localice en el espacio. Requerir que la densidad de energía sea estática significa que no se distorsiona y mantiene sus formas cuando la dejamos viajar al impulsarla. Las soluciones que satisfacen la condición 1 también se denominan ondas solitarias.

Algunos autores imponen el requisito adicional de que

2. si dejamos que dos soluciones de este tipo interactúen, sus perfiles de densidad de energía no pueden cambiar asintóticamente (en el pasado lejano y en el futuro lejano).

Aunque una definición rigurosa basada en 1. y 2. distinguiría entre una onda solitaria y un solitón, la mayoría de los autores usan estos términos indistintamente.

La motivación para adoptar tal definición es buscar soluciones de ecuaciones no lineales que se parezcan a las soluciones de ecuaciones lineales, es decir, que en algún sentido no tengan dispersión y muestren una interacción de formas preservadas.

Los solitones pueden clasificarse según el mecanismo que garantice su estabilidad. Los solitones no topológicos mantienen sus formas porque los campos están restringidos por las cargas de Noether. Entonces, por ejemplo, la ecuación KdV tiene un número infinito de simetrías continuas que originan un número infinito de leyes de conservación y esto evita que el solitón KdV se desintegre. Por otro lado, los solitones topológicos tienen su estabilidad dada por la conservación de las cargas topológicas. Esas cargas no están relacionadas con las simetrías de Noether y generalmente están relacionadas con la topología de la variedad de vacío de la teoría. Por ejemplo, las torceduras, las cuerdas cósmicas y los monopolos son ejemplos de solitones topológicos. Todos ellos son estables debido a la topología no trivial del colector de vacío. Para torceduras, el colector de vacío está desconectado, para la cuerda cósmica no está simplemente conectado,