En primer lugar: ¿cómo se define un operador en un espacio de Hilbert? Esta es solo una pregunta de matemáticas y la respuesta es simple: tenemos un espacio de Hilbert a mano , entonces definimos una función que es lineal , siendo su dominio.
Luego debemos definir la función. En otras palabras, debemos decir cómo actúa sobre . Esto significa que debemos decir lo que es para cada uno . Usualmente lo hacemos estableciendo una regla en términos de un , tal vez usando una base, oa veces podemos hacerlo de manera indirecta.
En cuanto a la definición de una función, esto sucede en todas las matemáticas: para definir una función, necesitamos un conjunto, y luego definimos la función en algún subconjunto de este conjunto. Entonces no es posible definir una función, a menos que sepamos de antemano: (i) el conjunto , (ii) el dominio y (iii) el rango .
En el caso de los espacios de Hilbert, es un espacio de Hilbert conocido para el problema, es el dominio del operador y . llamemos el conjunto de todos los operadores en el espacio de Hilbert .
Esto es solo matemáticas. Ahora bien, si queremos definir un campo de operadores en el espacio-tiempo , ¿qué necesitamos? Bueno, siguiendo esta lógica (que es la matemática estándar, no es nada sofisticado ) necesitamos una función . Pero, espera un minuto, para construir esta función necesitamos decir cómo actúa. En otras palabras, para cada evento debemos decir que es _
Bien, entonces, ¿cómo decimos qué es ? Es un operador en . Por lo tanto para definir tenemos que decir cómo actúa , en su dominio . En otras palabras, necesitamos especificar para cada cual es la accion para cada , de lo contrario no hemos definido en absoluto.
Se puede argumentar que los campos cuánticos deben verse como distribuciones valoradas por operadores, aunque todavía no estoy seguro de si este es el enfoque estándar, pero de todos modos, el problema persiste y es lo mismo. Para definir el campo cuántico hay que decir como actua para cada función de prueba y cada .
Y por supuesto, necesitamos . Aunque esto es menos importante ya que todos los espacios de Hilbert de la misma dimensión son isomorfos. Por otro lado, verdaderamente definir Es vital.
Ahora viene la pregunta: ¿qué hacen los físicos en QFT? Eligen un campo escalar y decir: "ok, ahora solo hacemos convertirse en operadores obedeciendo y hemos terminado". ¡Aún más se ha hecho! Uno escribe en términos de otros operadores , que tampoco se conocen y se relacionan con la relación de conmutación. Entonces imagina: "bien, el siguiente paso es, naturalmente, definir estos operadores" y no se hace nada , todos los operadores quedan sin definir con las relaciones de conmutación propuestas. ¿Cómo se pueden tener relaciones de conmutación y no tener los operadores?
En mecánica cuántica incluso puedo aceptar eso. El espacio de estado está ahí por postulado, los observables están ahí por postulado, y los asumimos todos (incluso podemos invocar el teorema de Stone-von Neumann si queremos ser más rigurosos). En QFT tenemos un campo, por lo que necesitamos la dependencia funcional , y tampoco ni se definen alguna vez.
En ese sentido estoy realmente confundido. ¿Qué significa realmente para los físicos en el contexto de QFT definir un campo ? ¿Cómo se puede trabajar con campos con valores de operadores (distribuciones) cuando solo se dice que las relaciones de conmutación se cumplen sin definir nunca los campos y los operadores? ¿Qué está pasando realmente aquí?
No necesita definir objetos si supone que existen. Sé que suena tonto, pero eso es lo que hacen los axiomas por nosotros: nos entregan cosas sin la necesidad de construir o justificar esas cosas, tanto en matemáticas como en física. Básicamente, en la teoría cuántica de campos asumimos que nos entregan los campos con valores de operador que actúan sobre algún espacio de Hilbert. Esos son los dos primeros axiomas de Wightman : los estados son rayos en el espacio de Hilbert y un "campo" es una distribución con valores en el espacio de operadores en . No se sabe nada más en un QFT genérico; no podemos describir explícitamente, y la acción de los campos es igualmente misteriosa para nosotros en el caso general.
Se podría decir que eso es precisamente lo que hace que QFT sea fundamentalmente más difícil de la mecánica cuántica con un número finito de grados de libertad. Gracias al teorema de Stone-von Neumann , suponiendo que existen operadores el cumplimiento de las relaciones canónicas de conmutación en algún espacio nos permite saber que este espacio es unitariamente equivalente a y y actúe mi multiplicación y diferenciación, lo que significa que podemos ver los estados como funciones de onda, etc. QM en un número finito de grados de libertad es concreto en el sentido de que podemos escribir explícitamente el espacio de estados y los operadores que actúan sobre ellos. Pero no definimos y para actuar de esta manera a priori, es el teorema SvN el que nos otorga el poder para hacerlo.
La axiomatización adecuada de esta actitud, que supone la existencia de "operadores" incorpóreos con relaciones de conmutación sin un espacio definido sobre el que actúan, es axiomatizar las teorías cuánticas como la teoría de ciertos funcionales lineales (estados, valores esperados) en -álgebras . Un abstracto -algebra no actúa sobre nada , y los estados son simplemente funcionales lineales que corresponden a la toma de valores esperados. Esta es una visión "intrínseca" de la mecánica cuántica, que no asume nada más que la estructura de los operadores como un álgebra: no hay espacio de Hilbert, no hay operadores que actúen sobre nada, nada, así que desde este punto de vista, la cuestión de cómo " definir" un campo cuántico parece una tontería: escribe los generadores del álgebra y sus relaciones, y eso es todo (módulo que define la estructura de Banach en él). El contacto con el mundo más familiar de los espacios de Hilbert se hace a través de la noción de -representaciones y en particular la construcción del GNS .
En QFT, es decir, mecánica cuántica con infinitos grados de libertad, carecemos del poder de Stone y von Neumann. Hay innumerables representaciones unitariamente no equivalentes del CCR (este es un aspecto del teorema de Haag ), por lo que no podemos escribir ninguna acción específica del campo en algún espacio específico simplemente asumiendo que el espacio y los campos existen. Así que construimos explícitamente el campo libre (que deberías ver como la primera definición del como los operadores de escalera en un espacio de Fock, luego armando el campo), y hacer trucos inteligentes para de alguna manera obtener conocimiento sobre las teorías que interactúan a partir de esto, por ejemplo, a través de la fórmula LSZ, que realmente es la piedra angular del formalismo canónico de QFT.
Ahora, si le preocupa cómo los físicos "definen" los campos asociados a ciertos lagrangianos, entonces la fórmula LSZ es lo más cercano a una respuesta: a través de LSZ, obtiene todos los valores esperados de vacío o "funciones de Wightman", y el El punto central de los axiomas de Wightman es precisamente que permiten que se cumpla el teorema de reconstrucción de Wightman que establece que las funciones de n puntos son suficientes para reconstruir los campos. Ahora, lamentablemente, rara vez se sabe que las teorías físicas son teorías de Wightman, pero esta es la hoja de ruta de cómo esperarías definir rigurosamente los campos cuánticos en el enfoque de Wightman.
Sin embargo, en la configuración abstracta, lo que necesita definir no son los campos como funciones en sí mismos, sino su -álgebra. Y dada una colección de campos clásicos y un Lagrangiano, eso te da una noción de las relaciones de conmutación tomando el CCR/CAR entre los campos y sus momentos canónicos, y por lo tanto un álgebra. Entonces, en el entorno abstracto, no hay mucho que definir, después de todo, incluso en el caso de los campos cuánticos.
yuggib