¿Por qué estas dos definiciones de simetría están en el equivalente lagrangiano?

I) Interpretamos la pregunta de OP (v2) esencialmente preguntando sobre lo siguiente.

Lo que sucede

L1) si la densidad lagrangiana$\delta {\cal L}= 0$no se transforma?

L2) si la densidad lagrangiana$\delta {\cal L}=\varepsilon~ d_{\mu} f^{\mu}$se transforma con una divergencia espacio-temporal total?

Aquí$\delta$denota una transformación infinitesimal

$$\tag{A} \delta\phi^{\alpha}~=~\varepsilon~ (\ldots), \qquad \delta x^{\mu}~=~\varepsilon~ (\ldots),$$ de los campos$\phi^{\alpha}$y coordenadas espacio-temporales$x^{\mu}$. Además,$\varepsilon$es un parámetro infinitesimal, y los puntos suspensivos$\ldots$es la abreviatura de cualquier transformación que consideremos.

En primer lugar, tenga en cuenta que la terminología difiere de un autor a otro. Algunos autores (ver, por ejemplo, Ref. 1 y esta publicación de Phys.SE) llaman a la transformación$\delta$para una simetría y una cuasi-simetría de la densidad lagrangiana${\cal L}$en el caso L1 y L2, respectivamente. Otros autores (ver por ejemplo Ref. 2) hablan de una simetría estricta y una simetría, respectivamente. Mientras que otros autores simplemente llaman$\delta$para una simetría en ambos casos.

Los dos casos L1 y L2 no son equivalentes, pero el teorema de Noether se cumple en ambos casos: existe en ambos casos una ley local de conservación de la forma

$$\tag{B} d_{\mu}J^{\mu}~\approx~ 0.$$

[Aquí el$\approx$el símbolo significa igualdad módulo eom.] Sin embargo, en el caso L2, la corriente de Noether desnuda (es decir, la fórmula estándar mencionada en Wikipedia ) debe mejorarse con (menos)$f^{\mu}$para obtener la corriente Noether completa correcta$J^{\mu}$en la ec. (B).

II) Finalmente, como señala innisfree, en lugar de la densidad lagrangiana${\cal L}$, también se puede considerar la acción

$$\tag{C} S~=~\int_{R}d^4x~ {\cal L},$$

dónde$R$denota una región del espacio-tiempo. A menudo (pero no siempre) la región$R$se supone que se transforma de acuerdo con la transformación horizontal$\delta x^{\mu}$.

De nuevo hay dos casos:

S1) La acción$\delta S =0$no se transforma

S2) La acción$\delta S =\varepsilon \int_{\partial R} d^{3}x~f$se transforma con un término de frontera.

En analogía con la Sección I, la transformación$\delta$es por definición llamado varias variaciones dependientes del autor de la frase simetría de la acción$S$en los dos casos S1 y S2. El teorema de Noether se cumple de nuevo en ambos casos.

Tenga en cuenta, sin embargo, que los casos L1 y L2 no se corresponden necesariamente con los casos S1 y S2, respectivamente. Por ejemplo, podría ocurrir que una cuasi-simetría (L2) de la densidad lagrangiana$\cal L$para ciertas opciones de región$R$se convierte en una estricta simetría (S1) de la acción$S$. Para ver un ejemplo de este fenómeno, vea, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

Referencias:

1. JV Jose y EJ Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, p. 565.

2. PJ Olver, Aplicaciones de los grupos de mentiras a las ecuaciones diferenciales, 1993.

Las definiciones son equivalentes porque la acción es invariante en cada caso, es decir,$\delta S = 0$.

Tomemos el caso 2, en el que$\delta \mathcal{L} = \partial^\mu F_\mu$. Por el teorema de Stokes, la divergencia total da como resultado una integral de superficie en el infinito,

$$\delta S = \int d^4x\delta\mathcal{L} = \int d^4 x \partial^\mu F_\mu= \int d\Sigma^\mu F_\mu = 0 \text{ if $F_\mu \to 0$ sufficiently rapidly at the boundary}.$$ Asumimos que $F$se desvanece lo suficientemente rápido, de modo que la integral, y por lo tanto la variación de la acción, es cero.

El Lagrangiano puede cambiar por una divergencia, porque la acción no cambia. Recuerde que es la acción que aparece en la integral de trayectoria en QFT (¡y en el principio de mínima acción en CM!) en lugar del Lagrangiano. Mientras la acción sea invariante, tenemos una simetría. (Estrictamente hablando, la medida en la integral de trayectoria también debe ser invariante; consulte ruptura de simetría anómala).