Skyrmion no quiral vs skyrmion quiral izquierdo/derecho

Usando las coordenadas cartesianas$X,Y$en el plano y coordenadas esféricas$\theta, \phi$en la esfera; la proyección estereográfica:

$$X+iY = \cot\frac{\theta}{2} e^{i\phi}$$

es una función singular ya que transforma el polo norte$\theta = 0$de la esfera al gran círculo en el infinito del plano.

Otra forma de ver la singularidad: Usando la proyección estereográfica inversa:

$$\hat{M} = (\frac{X}{X^2+Y^2+1}, \frac{Y}{X^2+Y^2+1}, \frac{X^2+Y^2-1}{X^2+Y^2+1})$$

La densidad de carga topológica

$$\rho_Q = \frac{1}{4 \pi} \hat{M} \cdot \big (\partial_X \hat{M} \times \partial_Y \hat{M} ) dX dY = \frac{1}{4 \pi} \frac{dXdY}{(1+X^2+Y^2)^2} = \frac{1}{4 \pi} \sin \theta d \theta d \phi$$

es el elemento de área superficial de la esfera (normalizado a una unidad de área).

En el avión,$\rho_Q$es una forma exacta:

$$\rho_Q = dA_Q$$

Con:

$$A_Q = \frac{1}{2 \pi} \frac{XdY-YdX}{1+X^2+Y^2}$$

Mientras que en la esfera no es exacta, pues si escribimos:

$$\rho_Q = -d(\cos\theta d\phi) = -d(\phi d \cos\theta)$$

Ni$\phi$ni$d\phi$son funciones o formas globales sobre la esfera.

Si el mapeo fuera suave, una forma exacta se transformaría en una forma exacta que necesariamente tiene una carga topológica que se desvanece en una variedad compacta sin límite. Es la singularidad de la proyección estereográfica la que da origen a la carga topológica que no desaparece.

La quiralidad de Skyrmion no es topológica. Los Skyrmions izquierdo y derecho tienen la misma carga topológica. Para un imán en particular, los Skyrmions izquierdo y derecho están separados por una barrera de energía y solo uno de ellos es la solución de energía mínima. La Barrera se debe al término Dzyaloshinsky-Moriya:

$$\int d^2x D \hat{M}\cdot(\nabla \times\hat{M})$$ Este término existe en imanes con simetría de inversión espacial rota. Girando el Skyrmion sobre el $z$-eje por un ángulo arbitrario $\theta$ $$\hat{M}' = (M_x \cos\theta + M_y \sin\theta , -M_x \sin\theta + M_y \cos\theta , M_z)$$ no cambia la carga topológica, ni los términos principales en su funcional de energía, como $J (\nabla \hat{M})^2$. Sin embargo, el término Dzyaloshinsky-Moriya es lineal en $\sin \theta$, por lo que la energía mínima se obtiene en $\theta = -\frac{\pi}{2}$cuando el coeficiente $D$es positivo y $\theta = \frac{\pi}{2}$, cuando es negativo. El signo depende del signo de la interacción espín órbita de la teoría microscópica subyacente.

En principio, es posible invertir la quiralidad de Skyrmion controlando el parámetro$D$del término Dzyaloshinsky-Moriya.

La quiralidad de Skyrmion no se puede asociar a una carga topológica, porque la transformación entre un Skyrmion de mano izquierda y derecha es suave. Además, el primer grupo de homotopía$\pi_1(S^2) = 0$del$2$-la esfera se desvanece (la esfera no tiene agujeros unidimensionales), por lo que la quiralidad no puede expresarse como un devanado unidimensional como en el caso de un vórtice.

Solo dos comentarios secundarios a la respuesta de David:

1. La estabilidad topológica y la estabilidad energética son conceptualmente diferentes. La razón por la que estamos interesados ​​en clasificar las fases utilizando números topológicos es que, por lo general, las diferentes configuraciones topológicas tienen barreras de energía. En el caso de skyrmion, destruir un skyrmion, lo que equivale a voltear el giro hacia abajo en el centro y costará energía de orden.$\sim A$donde A es la energía de intercambio entre los espines más cercanos. Desde el punto de vista de la topología, el skyrmion no quiral y el skyrmion quiral son lo mismo y no tienen barrera de energía debido a la topología. Todos son degenerados topológicos. Pero podemos introducir el efecto Dzyaloshinsky-Moriya en el sistema y crear una barrera de energía entre el skyrmion no quiral y el skyrmion quiral. Esta barrera de energía se debe a que introducimos nueva física en lugar de topología.

2. El número de bobinado que definiste:

   $$N=\frac{1}{2\pi}\oint \delta \theta$$ está bien definido en el caso de skyrmion. Pero no captura la quiralidad. Tanto para el skyrmion no quiral como para el quiral, obtendrá el mismo número de bobinado$1$. De hecho, el número de skyrmion se puede reducir al número de bobinado: $$N_{skyrmion}=\text{change in polarization} \cdot N_{\text{winding number}}$$ donde el cambio de polarización significa el cambio de$z$componentes para giros desde el infinito hasta el centro hacia abajo. Entonces, para contar el número de skyrmion, solo necesitamos contar el número de bobinado.