¿Qué es un modelo σσ\sigma no lineal?

Lubos respondió la pregunta de física, pero la historia está mal. El origen del término "modelo sigma" para una teoría de campo donde los valores escalares están en una variedad es del artículo de Gell-Mann y Levy de 1960 "The Axial Vector Current in$\beta$-Decay" que introdujo dos modelos.

El primero de ellos se denomina "modelo sigma lineal", y es un modelo de sombrero mexicano inspirado en Heisenberg renormalizado para un pión condensado. El modelo tiene cuatro campos,$\phi^i$donde i=0,1,2,3, que tienen un potencial de sombrero mexicano regular, por lo que los valores de vacío están en una esfera S_3.

Esto hace que 3 direcciones de campo sean ligeras, y estos modos son los tres piones, y una dirección de campo pesada, y este modo se denominó "sigma". Era una partícula predicha, y creo que fue identificada con el$\sigma$(600) resonancia amplia, excepto que esta resonancia es muy extraña y se eliminó de la lista, y es demasiado amplia para ser una sigma real, por lo que el modelo no es bueno.

Ignorando la renormalizabilidad, la masa del$\sigma$se ajusta haciendo que la pared del potencial del sombrero mexicano oscilante sea más estrecha, y en el límite de oscilaciones infinitamente rápidas, simplemente terminas restringiendo el$\pi$campos a una esfera, y no hay energía finita$\sigma$. Este límite es el modelo sigma no lineal no renormalizable del artículo. Se llamó así, porque es la versión no lineal del modelo sigma renormalizable que creían Gell-Mann y Levy, pero es un nombre inapropiado, porque la teoría no lineal no tiene un sigma , ese es el objetivo de ir a la no lineal. versión.

Si comienza con un modelo sigma no lineal microscópico y un lagrangiano de celosía, generará un sigma dinámicamente y obtendrá una dinámica de modelo sigma lineal a largas distancias. Gell-Mann y Levy ya sabían algo así. Pero Gell-Mann no estaba seguro de lo que sucedía a distancias cortas, y estaba abierto a que algún tipo de matriz S tomara el control en la escala de hadrones, haciendo que las consideraciones de renormalizabilidad fueran secundarias, por lo que dejó el modelo no lineal como una opción, incluso aunque no fue consistente con la renormalización (esta es mi opinión sobre Gell-Mann, alguien podría preguntarle al tipo y obtener una mejor opinión, nunca miente).

Históricamente, el modelo sigma no lineal fue la primera vez que alguien consideró una teoría de campo donde los valores de campo estaban restringidos a una variedad. Todas las demás construcciones de este tipo se han denominado modelos sigma no lineales a partir de ese momento, e históricamente evolucionaron a partir de generalizaciones de esta construcción. El término "álgebra actual" también se usa a veces para un caso especial de tales construcciones, cuando la variedad es un grupo. 1970s Witten dice álgebra actual 2d cada vez que quiere decir que hay campos dinámicos que toman valores en un grupo de Lie, como en los modelos WZW.

La forma moderna de la construcción de Gell-Mann Levy es la teoría de la perturbación quiral y es una aproximación de baja energía a QCD. Los campos de piones son las rotaciones quirales del condensado de quarks, mientras que la excitación sigma no es precisamente necesaria, porque no es un movimiento de simetría. Dado que el SU(2) de las rotaciones quirales es topológicamente de 3 esferas, no es muy diferente de lo que sugirieron primero Gell-Mann y Levy.

Los modelos sigma no lineales adquieren una nueva vida debido al trabajo de Friedan, porque en la teoría de cuerdas, el espacio-tiempo mismo es un modelo sigma en la hoja del mundo. Los modelos sigma no lineales del artículo de Friedan son cualitativamente más sofisticados que los de Gell-Mann y Levy, y realmente deberían llamarse con un nuevo nombre. Pero no lo son. Eso es historia, nos ocupamos de eso.

Encuentro el artículo de Wikipedia al que OP ha vinculado comprensible y que se explica por sí mismo. Sin embargo, de nuevo.

Un modelo sigma no lineal es un modelo que describe campos escalares que abarcan una variedad generalmente curva equipada con una métrica de Riemann. La métrica de Riemann$g_{ab}(\Sigma^c)$aparece en el término cinético como un coeficiente de la$\partial^\mu \Sigma^a \partial_\mu \Sigma^b$. Dichos modelos pueden interpretarse como que describen el movimiento de una partícula o una cuerda/brana de mayor dimensión en la variedad curva.

La palabra "modelo" se refiere a una teoría particular con algunas leyes particulares de la física (Lagrangiana). Es "no lineal" porque el término cinético no es simplemente bilineal; es de orden superior y depende de los campos y no solo de sus derivados. Entonces, las soluciones también son no lineales; pueden entenderse como un movimiento de una partícula (o branas) en una variedad objetivo curva que no sigue "caminos rectos", por lo que no es lineal.

Se llaman modelos sigma porque la letra$\Sigma$utilizado para estos campos escalares se pronuncia como "sigma". Bueno, era una sigma minúscula en la importante tesis de 1980 de Dan Friedan,

http://www.osti.gov/energycitations/servlets/purl/5001689-j6L3sY/5001689.pdf

que no tenía "sigma" en el título pero sí usaba la letra sigma para los campos. Había que elegir alguna letra, era esta, y los físicos evitaron económicamente la terminología redundante y nombraron el modelo después de la letra también.

Tener coeficientes no lineales de los términos cinéticos es particularmente natural para los campos escalares donde se puede vincular a la geometría de Riemann. No se pueden hacer cosas similares con campos giratorios, al menos no con la misma naturalidad. Entonces, los modelos sigma no lineales representan una clase importante. Aparece en muchas situaciones en las que los campos escalares son más complicados que simplemente "parámetros que etiquetan algún espacio plano". La variedad relevante abarcada por los campos escalares puede ser una esfera, un cociente de grupos (p. ej., en las teorías de la supergravedad), una variedad de espacio-tiempo arbitraria si describimos la teoría de cuerdas mediante un lagrangiano de láminas universales, lo mismo para las branas, etc.