Condición de frontera para que los solitones en dimensiones 1+1 tengan energía finita

Question

Condición de frontera para que los solitones en dimensiones 1+1 tengan energía finita

Física
solitones
instantes
teoría de campo
condiciones de borde
teoría clásica del campo

SRS

Supongamos una configuración de campo clásica de un campo escalar real $\phi(x,t)$ , en $1+1$ dimensiones, tiene la energía

mi [ϕ] = \int_{- \infty}^{+ \infty} d X [\frac{1}{2} {(\frac{\partial ϕ}{\partial t})}^{2} + \frac{1}{2} {(\frac{\partial ϕ}{\partial X})}^{2} + a ϕ^{2} + b ϕ^{4}]

$E[\phi]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx\, \left[\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2+a\phi^2+b\phi^4 \right]$ donde el potencial está dado por

V (ϕ) = a ϕ^{2} + b ϕ^{4} .

$V(\phi)=a\phi^2+b\phi^4.$

por la energia $E[\phi]$ para ser finito, se requiere necesariamente $\phi\rightarrow 0$ , como $x\rightarrow\pm\infty$ . Pero además, ¿no deberíamos también exigir necesariamente que ambos $\frac{\partial\phi}{\partial t}$ y $\frac{\partial \phi}{\partial x}$ debe desaparecer como $x\rightarrow \pm\infty$ ?

Sin embargo, si no me equivoco, para encontrar soluciones de solitones (que tienen energía finita), uno impone solo la condición de contorno $\phi\rightarrow 0$ , como $x\rightarrow\pm\infty$ . ¿Significa que si esto se cumple, la condición de frontera que se desvanece en las derivadas del campo también se cumple automáticamente?

EDITAR : sé que para funciones arbitrarias $f(x)$ esto no es cierto, es decir, si $f(x)\rightarrow 0$ como $x\rightarrow \pm \infty$ , $f^\prime(x)$ no necesita desaparecer como $x\rightarrow \pm \infty$ . Pero $\phi(x,t)$ no son funciones arbitrarias en el sentido de que son soluciones de ecuaciones de Euler-Lagrange. Por lo tanto, es posible que la condición $\phi\rightarrow 0$ , como $x\rightarrow\pm\infty$ es suficiente.

Respuestas (2)

Condición de frontera para que los solitones en dimensiones 1+1 tengan energía finita

Diracología · Answer 1

Para que la energía sea finita es necesario que la densidad de energía desaparezca asintóticamente. Observe que esto se logra si el campo escalar se aproxima asintóticamente a un valor constante.

Ahora recuerde que un solitón no es solo una solución de energía finita de las ecuaciones de movimiento, sino también una solución estable. Para los solitones topológicos, esto requiere que la variedad de vacío esté degenerada. En su ejemplo, esto solo es posible si $a<0$ (¡el potencial no es definido positivo!). Luego, como puede ver, el potencial se desvanece para $\phi=\pm\sqrt{-a/b}$ . Cuando el campo escalar interpola estos dos valores, es decir,

ϕ (t, X \to - \infty) = - \sqrt{- a / b}, ϕ (t, X \to + \infty) = + \sqrt{- a / b},

$\phi(t,x\rightarrow -\infty)=-\sqrt{-a/b},\quad \phi(t,x\rightarrow +\infty)=+\sqrt{-a/b},$ entonces tenemos una solución topológicamente estable. Los diagramas a continuación muestran estas características para la torcedura en

1 + 1

$1+1$ . A la izquierda un potencial degenerado. Arriba a la derecha un campo escalar interpolando dos vacíos diferentes y abajo a la derecha la densidad de energía en función de la posición. Tenga en cuenta que esta solución no se puede deformar a la solución de vacío (ya sea

ϕ (t, x) = - v

$\phi(t,x)=-v$ o

ϕ (t, x) = + v

$\phi(t,x)=+v$ ) ya que costará una cantidad infinita de energía. Eso es lo que da la estabilidad de esta solución.

Si el campo se acerca a un valor constante distinto de cero en el infinito, el funcional de energía explotaría en el infinito. Así que no entendí la segunda línea.
@SRS No si se acerca lo suficientemente rápido. Ese es el punto de una torcedura. Interpola dos vacíos diferentes y la región finita del campo donde no desaparece el potencial forma un bulto de energía, el kink.

Nombre AAAA · Answer 2

Parece que te equivocas. Puedes buscar configuraciones estáticas $\varphi = \varphi (x)$ . Entonces la expresión de la energía se reduce a

mi [φ] = \int_{- \infty}^{\infty} d X \frac{1}{2} {(\partial_{X} φ \mp \sqrt{2 V (φ (X))})}^{2} \pm \int_{φ (X = - \infty)}^{φ (X = \infty)} \sqrt{2 V (φ)} d φ,

$E[\varphi] = \int \limits_{-\infty}^{\infty} dx \frac{1}{2}\left(\partial_{x}\varphi \mp \sqrt{2V(\varphi(x))} \right)^{2} \pm \int \limits_{\varphi(x = -\infty)}^{\varphi (x = \infty)}\sqrt{2V(\varphi)}d\varphi,$ dónde

V (φ) = a φ^{2} + b φ^{4}

$V(\varphi) = a\varphi^{2} + b\varphi^{4}$ Si requerimos que la energía sea finita, tenemos

\partial_{X} φ \to \pm \sqrt{2 V (φ (X))} en X \to \infty, V (φ (X)) ⩽ \infty

$\partial_{x}\varphi \to \pm \sqrt{2V(\varphi(x))} \ \ \text{at } \ \ x \to \infty , \quad V(\varphi(x)) \leqslant \infty$

Estimado @Nombre YYY- ¿Qué le pasa a mi energía funcional? Tenga en cuenta que cada término en $E[\phi]$ es no negativo. Por lo tanto, cuando consideramos una solución estática, ¿no requerimos tanto $\phi$ y $\frac{\partial \phi}{\partial x}$ desaparecer individualmente como $x\rightarrow \pm\infty$ como condición necesaria?
@SRS: Esta es la única de las posibles condiciones que satisface el requisito de finitud de la acción (ver la última fórmula en mi respuesta).

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