Transformación de Lorentz de la ecuación de Klein-Gordon

Olvidémonos de los índices por un momento y hagamos la regla de la cadena:

$$\partial_x\left(f(\lambda^{-1} x)\right) =\dfrac{\partial f(\lambda^{-1} x)}{\partial x} =\lambda^{-1}\dfrac{\partial f(\lambda^{-1} x)}{\partial (\lambda^{-1} x)} \quad.$$ Esto explica la$\Lambda^{-1}$prefactor en el RHS. Si comprende esto, agregar índices debería ser bastante sencillo.

La segunda parte de su pregunta es causada por el abuso estándar de notación. Nuevamente, suprimamos los índices por un momento. Desde

$$\dfrac{\partial f(s)}{\partial s} \equiv (\partial_s f)(s) \quad,$$ podemos escribir $$\dfrac{\partial f(\lambda^{-1} x)}{\partial (\lambda^{-1} x)} = (\partial_s f)(s) \biggr\rvert_{s=\lambda^{-1}x} = f^{\,\prime}(\lambda^{-1}x) \quad.$$

$\partial_\mu(\phi(\Lambda^{-1}x))$corresponde a la derivada de la función$\tilde{\phi}(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$con respecto a$x^\mu$:

$$\partial_\mu(\phi(\Lambda^{-1}x)) = \dfrac{\partial \tilde{\phi}(x)}{\partial x^\mu} = \dfrac{\partial \phi(\Lambda^{-1}x)}{\partial x^\mu} \quad.$$ $(\partial_\mu\phi)(\Lambda^{-1}x)$corresponde a calcular la derivada de$\phi(s)$con respecto a$s$, y luego evaluando esta derivada en el punto$s = \Lambda^{-1}x$: $$(\partial_\mu\phi)(\Lambda^{-1}x) = \left.\dfrac{\partial\phi(s)}{\partial x^\mu}\right|_{s=\Lambda^{-1}x} \quad.$$