Variación de la densidad lagrangiana LL\mathcal{L} wrt xμxμx^{\mu}

Hay dos tipos de derivados que debemos distinguir:

$$\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm dx}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\big[\mathcal L(\phi(x+h),\phi'(x+h),x+h)-\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x)\big]\tag{1}$$ y $$\frac{\partial\mathcal L}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\big[\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x+h)-\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x)\big]\tag{2}$$

En general, es$(2)$que es cero, mientras que es$(1)$que se utiliza en el teorema de Noether (para derivar, por ejemplo, el tensor de energía-momento).

Por ejemplo, el lagrangiano de Klein-Gordon dice

$$\mathcal L\sim (\partial\phi)^2-m^2\phi^2$$ que no depende explícitamente de $x$. El $(2)$la derivada es claramente cero, es decir, $\partial L=0$. Por otro lado, en una traducción, $$\mathcal L\ \big|_{x\to x+a}=\mathcal L\ \big|_x+a\ \mathrm d\mathcal L\ \big|_x+\cdots$$ dónde $\mathrm d\mathcal L\neq 0$porque $\mathcal L$depende implícitamente de la posición a través de los campos. Es $\mathrm d\mathcal L$lo que tienes en la definición de, digamos, $T^{\mu\nu}$.

El punto es que uno debería distinguir entre una derivada total del espacio-tiempo

$$\frac{d}{dx^{\mu}}~=~ \frac{\partial }{\partial x^{\mu}}+ \phi_{,\mu} \frac{\partial }{\partial \phi}+ \phi_{,\mu\nu} \frac{\partial }{\partial \phi_{,\nu}}+\ldots \tag{1}$$

(donde los puntos suspensivos denotan contribuciones en el caso de derivadas de espacio-tiempo más altas), y una derivada de espacio-tiempo explícita

$$\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}.\tag{2}$$

Notabene: Como siempre: diferentes autores usan diferentes notaciones para los dos tipos de derivados del espacio-tiempo (1) y (2). Por ejemplo, Greiner, Bjorken & Drell, Ryder, etc., utilice$\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}\equiv\partial_{\mu}$para denotar una derivada total del espacio-tiempo.

Para obtener más información sobre el cálculo de la variación, consulte también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.